---扩域和分裂域.ppt

---同构

---扩域和分裂域

---域中元的唯一表示
例3
例4
§ 多项式的分裂域(1)
一、分裂域的定义

---分裂域
例1
例2

---导数

---分裂域的同构
例6
推论2
例5
推论1
例7

---重根的判断

---完备域上多项式

---不可约多项式与分裂域

---有限域是完备域

---完备域
例8
参考资料
推论3

---导数的性质

---多项式重根条件
§ 多项式的分裂域(2)
数多项式. 如果能分解成中一次因式的乘积,
则称在上是分裂的. 如果在上是分裂的,
但在的任一包含的真子域上不分裂, 则称
为多项式在上的分裂域(splitting field).
设是的扩域. 为上的一个非常
一、分裂域的定义
注多项式在域上的分裂域不仅依赖于该多项
式,还依赖于域. 下一例子就是要说明上的多项式
的分裂域是如何依赖于域的.
例1 考虑多项式. 因为,我们发
现在中是分裂的, 但它在上的分裂域是
在上的分裂域是. 又
如, 在上是分裂的, 但它在上的分裂
域是(它也等于).
注分裂域的定义与不可约多项式的定义有相
“是不可约的”没有意义一样,
说“是的分裂域”也同样是没有意义的. 在上述
两种情况中都必须指明基域, 即必须说“在上
不可约”和“是在上的分裂域”.
例3 考虑. 则
(见§) 是在上
的分裂域. 这是因为
同时,
素是的根.
于是在中分裂. 又因为只有九个元素, 显然
因为是2次的, 所以的另一个根也在
内.
在中分解时会出现记号上的混淆.
因为我们既用表示上的未定元,又用表示中的
陪集代表元. 为了避免记号的混乱, 我们可以将陪集
与中的1等同, 并将陪集
记作. 于是,
这些元素间的加和乘与多项式的运算是一样的. 但是
也是在上的分裂域. 但是我们在中怎样来
分解呢?