定积分的若干应用--论文.doc

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论文题目定积分的若干应用
目录
摘要 1
关键词 1
Abstract 1
Keywords 1
0 前言 1
1 定积分在数学中的应用 1
曲边梯形面积的求法 1
扇形面积的求法 3
立体图形的体积的求法 3
由截面面积求旋转体的体积 4
求弧长的方法 5
由微分法求旋转曲面的面积 6
利用定积分对数列求和 7
利用定积分进行因式分解、化简代数式 7
利用定积分证明不等式 8
2 定积分在物理中的应用 9
液体静压力 9
引力问题 9
功与平均功率 10
3 定积分在经济中的应用 12
最大利润问题 12
资金的现值、终值与投资问题 12
参考文献 13
定积分的若干应用
姓名: 学号:
数学与信息科学学院数学与应用数学
指导老师: 职称:讲师
摘要:本文通过定积分中微元法的思想,讨论了定积分在数学、物理学以及经济学中的若干应用,包括立体图形的体积的求法、不等式的证明、液体静压力、引力问题、最大利润问题等.
关键词:定积分;微分法;弧长
Some Application of Integral
Abstract:In this paper,we discuss some application of integral in mathematics, physics and economics through the thought infinitesimal method,including the volume of three-dimensional,graphics for France Inequality,hydrostatic pressure,gravity issues,the maximum profit problms.
Keywords:definite integral;differential method;arc length
0 前言
微积分是数学的一个重要分支,它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具之一,如复杂图形的研究,求数列极限等问题,在物理学方面液体静压力,引力等的研究,.
1 定积分在数学中的应用
曲边梯形的面积的求法
设为闭区间上连续函数,且,由曲线,直线,以及轴所围成的平面图形.
,圆的面积是用一系列边数无限增加的内接(或外切)正多边形的面积的极限来定义的,.
由此可知,由上下两条连续曲线,以及直线和直线所围的平面图形的面积,它的计算公式为.
例1 求抛物线与直线所围成的平面图形的面积.
、右两个部分,应用公式分别求得它们的面积为
=,
=.
所以.
设曲线由参数方程
=,,
给出,在[上连续,连续可微且(对于连续可微的情形可类似地讨论).记=,=,,则由曲线及直线和轴所围的图形,其面积计算公式为
.
如果由参数方程表示的曲线是封闭的,那么由曲线自身所围的图形的面积为
.
例2 求椭圆所围的面积.
解化椭圆方程为参数方程
=,=,.
则可求得椭圆围面积
=||
==.
显然,当时,这就等于圆面积
扇形面积的求法
设曲线由极坐标方程
=,
给出,其中在[]上连续,.由曲线与两条射线所围成的平面图形,
=.
例3 求双纽线=所围成的平面图形的面积.
解因为,所以的取值范围为[-]与[].由图形的对称性得
=4=.
立体图形的体积的求法
设是三维空间中一立体,,它截得的截面面积显然是的函数,记为,,并称之为的截面面积函数.

:.
过各个分点作垂直于轴的平面,,、小值分别为与,那么每一薄片的体积满足
.
于是,的体积满足
.
因为为连续函数,从而在上可积,所以当足够小时,能使
,

(或)
=,
其中(或),所以有
.
例4 求椭球面所围的立体的面积.
解以平面截椭