2004年考研数一真题及解析.doc

2004年考研数学试题答案与解析(数学一)
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1)曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为.
【分析】本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标.
【详解】由,得x=1, 可见切点为,于是所求的切线方程为
, 即.
【评注】本题也可先设切点为,曲线y=lnx过此切点的导数为,得,由此可知所求切线方程为, 即.
本题比较简单,类似例题在一般教科书上均可找到.
(2)已知,且f(1)=0, 则f(x)= .
【分析】先求出的表达式,再积分即可.
【详解】令,则,于是有
, 即
积分得. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0,故所求函数为f(x)= .
【评注】本题属基础题型,已知导函数求原函数一般用不定积分.
(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为.
【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分.
【详解】正向圆周在第一象限中的部分,可表示为

于是
=
【评注】本题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.
(4)欧拉方程的通解为.
【分析】欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可.
【详解】令,则,
,
代入原方程,整理得
,
解此方程,得通解为
【评注】本题属基础题型,也可直接套用公式,令,则欧拉方程
,
可化为
(5)设矩阵,矩阵B满足,其中为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则.
【分析】可先用公式进行化简
【详解】已知等式两边同时右乘A,得
, 而,于是有
, 即,
再两边取行列式,有,
而,故所求行列式为
【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵,一般均应先利用公式进行化简.
(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则= .
【分析】已知连续型随机变量X的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可.
【详解】由题设,知,于是
=
=
【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A) . (B) . (C) . (D) . [ B ]
【分析】先两两进行比较,再排出次序即可.
【详解】,可排除(C),(D)选项,
又
=,可见是比低阶的无穷小量,故应选(B).
【评注】本题是无穷小量的比较问题,也可先将分别与进行比较,再确定相互的高低次序.
(8)设函数f(x)连续,且则存在,使得
(A) f(x)在(0,内单调增加. (B)f(x)在内单调减少.
(C) 对任意的有f(x)>f(0) . (D) 对任意的有f(x)>f(0) . [ C ]
【分析】函数f(x)只在一点的导数大于零,一般不能推导出单调性,因此可排除(A),(B)选项,再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.
【详解】由导数的定义,知
,
根据保号性,知存在,当时,有

即当时,f(x)<f(0); 而当时,有f(x)>f(0). 故应选(C).
【评注】题设函数一点可导,一般均应联想到用导数的定义进行讨论.
(9)设为正项级数,下列结论中正确的是
(A) 若=0,则级数收敛.
(B) 若存在非零常数,使得,则级数发散.
(C) 若级数收敛,则.
若级数发散, 则存在非零常数,使得. [ B ]
【分析】对于敛散性的判定问题,若不便直接推证,往往可用反例通过排除法找到正确选项.
【详解】取,则=0,但发散,排除(A),(D);
又取,则级数收敛,但,排除(C), 故应选(B).
【评注】本题也可用比较判别法的极限形式,
,而级数发散,因此级数也发散,故应选(B).
(10)设f(x)为连续函数,,则等于
(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ]
【分析】先求导,再代入t=,使得被积函数中不含有变量t.
【详解】交换积分次序,得
=
于是,,从而有,故应选(B).
【评注】在应用变限的积分对变量x求导时,应注意被积函数中不能含有变量x:

否则,应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上.
(11)设A是3阶方阵,将A的第1列