指数函数知识点总结.doc

指数函数
(一)指数与指数幂的运算
:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*.
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
当是奇数时,,当是偶数时,

正数的分数指数幂的意义,规定:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

(1)· ;
(2) ;
(3) .
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
定义域 R
定义域 R
值域y>0
值域y>0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)
函数图象都过定点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或
(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
指数函数·例题解析
 
【例1】求下列函数的定义域与值域:
解(1)定义域为x∈R且x≠>0且y≠1.
(2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为y≥0.
(3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3,
练习:(1); (2); (3);
【例2】指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是[ ]
<b<1<c<d
<b<1<d<c
C. b<a<1<d<c
<d<1<a<b
解选(c),在x轴上任取一点(x,0),
则得b<a<1<d<c.
练习:指数函数①②满足不等式,则它们的图象是( ).

【例3】比较大小:
(3)
解(3),利用指数函数的单调性,>,作函数y1=,y2=-3,取x=,>
∴ >.
说明如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,,(),如例2中的(3).
练习: (1) 与 ( 2 )与
( 3 ) 与 (4)和
【例5】作出下列函数的图像:
y=2|x-1| (4)y=|1-3x|
解(2)y=2x-2的图像(-5)是把函数y=2x的图像向下平移2个单位得到的.
解(3)利用翻折变换,先作y=2|x|的图像,再把y=2|x|的图像向右平移1个单位,就得y=2|x-1|的图像(-6).
解(4)作函数y=3x的图像关于x轴的对称图像得y=-3x的图像,再把y=-3x的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.(-7)
(1)判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的值域;(3)证明f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.
解(1)定义域是R.</>
∴函数f(x)为奇函数.
即f(x)的值域为(-1,1).
(3)设任意取两个值x1、x2∈(-∞,+∞)且x1<(x1)-f(x2)
单元测试题
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1、化简,结果是( )
A、 B、 C、 D、
2、等于( )
A、 B、 C、 D、
3、若,且,则的值等于( )
A、 B、 C、 D、2
4、函数在R上是减函数,则的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
5、下列函数式中,满足的是( )
A、 B、 C、 D、
6、下列是( )
A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数
7、已知,下列不等式(1);(2);(3);(4);(5)中恒成立的有( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8、函数是( )
A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
9、函数的值域是( )
A、 B、 C、 D、
10、已知,则函数的图像必定不经过( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
11、是偶