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数列的基本性质和常用结论
一、等差数列

(1)用定义:对任意的n,都有(d为常数)为等差数列(定义法)
(2)(n)为等差数列(等差中项)
(3) =pn+q (p, q为常数且p≠0)(即为关于n的一次函数) 为等差数列
(4) (p, q为常数)(即为关于n的不含常数项的二次函数) 为等差数列

若数列,为等差数列,则数列,,,(k, b为非零常数)均为等差数列.
对任何m,n,在等差数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等差数列的通项公式。另外可得公差d=,或d=
若m+n=p+q (m,n,p,q),则=.特别的,当n+m=2k时,得=
若数列为等差数列,则记,,,则,,仍成等差数列,且公差为d
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(1)(.若等差数列,的前n项和为(n为奇数),则
(2)) 若为等差数列的前n项和,则数列也为等差数列.
(3) 记等差数列的前n项和为:①若>0,公差d<0,则当时,则有最大值;②若<0,公差d>0,则当时,则有最小值。求最值的方法也可先求出,再用配方法求解。
二、等比数列

(1)用定义:对任意的n,都有(q0) 为等比数列(定义法)
(2)(0)为等比数列(等比中项)
(3) 若数列通项公式为:为等比数列(通项公式法)

(1).若数列,为等比数列,则数列,,,, (k为非零常数) 均为等比数列.
(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性.
(3) 若m+n=p+q (m, n, p, q),则=.特别的,当n+m=2k时,得=
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若数列为等差数列,则记,,,则,,仍成等比数列,且公差为
三、通项公式的求法
(1)观察法:各项的规律明显,对分式分别看分子和分母的规律。
(2)公式法:①利用等差数列或等比数列的通项公式.
②利用与的关系: 特别注意:该公式对一切数列都成立。
(3)累加法:
(4)累乘法:
四、数列前n项和的求法
公式法:直接利用等差或等比数列求和公式
倒序相加法(参照等差数列前n项和公式的推导)
错位相减法(参照等比数列前n项和公式的推导)
分组求和法
裂项相消法
数列通项公式的常见求法
一、观察法
例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:
(1)9,99,999,9999,…(2)
(3) (4)
二、公式法
⑴利用等差等比数列通项公式
例2. 等差数列是递减数列,且=48,=12,则数列的通项公式是( )
(A) (B) (C) (D)
⑵利用公式求数列通项公式
例3. 已知数列的前n项和sn的公式:求的通项公式。
三、累加法:;
例4. 若在数列中,,,求通项。