函数的连续性和可微性（毕业设计论文doc）.doc

目录
引言 1
1
1
定义 1
定理 2
间断点及其分类 4
一元函数的可微性 8
可微的定义 8
9
可导、可微以及连续之间的关系 9
11
11
定义 11
定理 11
13
二元函数可微性的定义 13
偏导数的定义 13
定理 14
微分的几何应用 15
偏导数的连续性、函数可微性、可偏导性与函数连续性的关系. 17
结束语 24
参考文献 25
致谢 26
引言
连续性和可微性是函数的重要特性,从几何形象上粗略地说,连续函数在坐标系上的图像是一条连续不断的曲线,,连续性和可微性是等价的,它是函数增量与自变量增量之间关系的另一种表达式,函数的微分是函数增量的线性主要部分,可微和可导是等价的,,可导必连续,、化学、计算机、机械、建筑等领域的基本数学工具,在社会、,微分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、、可导性与可微性是高等数学中最基本、最重要的概念,这三个概念是微积分的重要组成部分,本文在对比函数连续性、可导性与可微三个概念的基础上,深入讨论了三者之间的联系与区别,、,,,连续性和可微性是不等价的,学习数学分析之后,我们知道当二元函数的两个偏导数都连续时,,另一个偏导数连续时,,得到了当多元函数的某个偏导数连续,而其余偏导数存在时,,主要研究二元函数的连续性,偏导存在性,可微性等概念以及它们之间因果关系,在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后,再将它推广到一般的多元函数中去.


定义
定义1 设函数在某内有定义,若
,
则称在点连续.
由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的,因而也可以直接用方式来叙述,即:若对任给的,使得当时有
,
则称在点连续.
若在区间上的每一点都连续,则称为上的连续函数.
定义2
,
则称在点右(左)连续.
定理
定理1 函数在连续的充要条件是:在点既是左连续,又是右连续.
定理2(局部有界性)若函数在点连续,则在某内有界.
定理3(局部保号性)若函数在点连续,且(或),则对任何正数(或),存在某,使得对一切,有
.
“在连续”是在点处连续的( )条件
(A)必要非充分
(B)充分非必要
(C)充要
(D)既非充分又非必要
解:在连续,在连续,在连续在连续,如,,,在连续,(B)
定理4(四则运算)若函数和在点连续,则,,(这里)
也都在点连续.
定理5 若函数在点连续,在点连续,,则复合函数在点连续.
证由于在点连续,对于任给的,存在,使得当时有
()
又由及在点连续,故对上述,存在,(1)得:对任给的,存在,当时有
.
这就证明了在点连续.
设在处连续,在处间断,又,则( ).
(A)处间断,
(B)处间断,
(C)处间断,
(D)处间断.
解: 分析一连续与不连续的复合可能连续,也可能间断,故(A),(B),故(C)也不对,因此,选(D).
分析二在处连续,在处间断,又,处间断,若不然,在连续,与已知矛盾,选(D).
定理6(最大、最小值定理)若函数在闭区间上连续,则在上有最大值和最小值.
推论(有界性定理)若函数在闭区间上连续,则在上有界.
定理7(介值性定理)若函数在闭区间上连续,且,若为介于与之间的任何实数,则至少存在一点,