论文：复合函数的概念及复合函数的单调性.doc

一、知识点内容和要求:
理解复合函数的概念,会求复合函数的单调区间
二、教学过程设计
(一)复习函数的单调性
引例:函数y=f(x)在上单调递减,则函数(a>0,且a≠1)增减性如何?
(二)新课
1、复合函数的概念
如果y是a的函数,a又是x的函数,即y=f(a),a=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)]
叫做函数y=f(x)和a=g(x)的复合函数,其中a是中间变量,自变量为x,函数值y。
例如:函数是由复合而成立。
函数是由复合而成立,a是中间变量。
2、复合函数单调性
由引例:对任意a,都有意义(a>0且a≠1)且。
对任意,
当a>1时,单调递增,当0<a<1时,单调递减。
∵当a>1时,
∵y=f(u)是上的递减函数∴
∴
∴是单调递减函数
类似地,
当0<a<1时,
是单调递增函数
一般地,
定理:设函数u=g(x)在区间M上有意义,函数y=f(u)在区间N上有意义,且当X∈M时,u∈N。
有以下四种情况:
(1)若u=g(x)在M上是增函数,y=f(u)在N上是增函数,则y=f[g(x)]在M上也是增函数;
(2)若u=g(x)在M上是增函数,y=f(u)在N上是减函数,则y=f[g(x)]在M上也是减函数;
(3)若u=g(x)在M上是减函数,y=f(u)在N上是增函数,则y=f[g(x)]在M上也是减函数;
(4)若u=g(x)在M上是减函数,y=f(u)在N上是减函数,则y=f[g(x)]在M上也是增函数。
即:同增异减。
注意:内层函数u=g(x)的值域是外层函数y=f(u)的定义域的子集。
 
例1、讨论函数的单调性
(1)(2)
解:①
又是减函数
∴函数的增区间是(-∞,2],减区间是[2,+∞)。
②x∈(-1,3)
令
∴x∈(-1,1]上,u是递增的,x∈[1,3)上,u是递减的。
∵是增函数
∴函数在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减。
注意:要求定义域
 
练习:求下列函数的单调区间。
1、(1)减区间,增区间;
(2)增区间(-∞,-3),减区间(1,+∞);
(3)减区间,增区间;
(4)减区间,增函数。
2、已知求g(x)的单调区间。
提示:设,则g(x)=f(u)利用复合函数单调性解决:g(x)
的单调递增区间分别为(-∞,-1],[0,1],单调递减区间分别为[-1,0],[1,+∞)。

例2、y=f(x),且lglgy=lg3x+lg(3-x