2011届高考数学难点突破难点09 指数、对数函数.doc

难点9 指数函数、对数函数问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
(★★★★★)设f(x)=log2,F(x)=+f(x).
(1)试判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明;
(2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明:对任意的自然数n(n≥3),都有f-1(n)>;
(3)若F(x)的反函数F-1(x),证明:方程F-1(x)=0有惟一解.
●案例探究
[例1]已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
(1)证明:点C、D和原点O在同一条直线上;
(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.
命题意图:本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,★★★★级题目.
知识依托:(1)证明三点共线的方法:kOC=kOD.
(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得A点坐标.
错解分析:不易考虑运用方程思想去解决实际问题.
技巧与方法:本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点A的坐标.
(1)证明:设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知:x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,、B在过点O的直线上,所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x2,所以OC的斜率:k1=,
OD的斜率:k2=,由此可知:k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.
(2)解:由BC平行于x轴知:log2x1=log8x2 即:log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得:x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=>1,∴x1=,则点A的坐标为(,log8).
[例2]在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn
位于函数y=2000()x(0<a<1)的图象上,且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.
(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式;
(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围;
(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数,}前多少项的和最大?试说明理由.
命题意图:本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在一起,构成一个思维难度较大的综合题目,★★★★★级
题目.
知识依托:指数函数、对数函数及数列、最值等知识.
错解分析:考生对综合知识不易驾驭,思维难度较大,找不到解题的突破口.
技巧与方法:本题属于知识综合题,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,并会运用相关的知识点去解决问题.
解:(1)由题意知:an=n+,∴bn=2000().
(2)∵函数y=2000()x(0<a<10)递减,∴对