图解法和单纯形法求解线性规划问题.docx

图解法和单纯形法求解以下线性规划问题
图解法解线性规划问题
只含两个变量的线性规划问题,可以通过在平面上作图的方法求解,步骤如下:
以变量x1为横坐标轴,x2为纵坐标轴,适当选取单位坐标长度建立平面坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知,满足该约束条件的解均在第一象限内。
图示约束条件,找出可行域(所有约束条件共同构成的图形)。
画出目标函数等值线,并确定函数增大(或减小)的方向。
可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。
然而,由于图解法不适用于求解大规模的线性规划问题,其实用意义不大。
单纯形法解线性规划问题
它的理论根据是:线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集,其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。
单纯形法的基本思想是:先找出一个基本可行解,对它进行鉴别,看是否是最优解;若不是,则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别;若仍不是,则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限,故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。
单纯形法的一般解题步骤可归纳如下:①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组,找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在,即约束条件有矛盾,则问题无解。③若基本可行解存在,从初始基本可行解作为起点,根据最优性条件和可行性条件,引入非基变量取代某一基变量,找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件(这时目标函数值不能再改善),即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界,则终止迭代。
线性规划问题的标准化
使用单纯形法求解线性规划时,首先要化问题为标准形式
所谓标准形式是指下列形式:
当实际模型非标准形式时,可以通过以下变换化为标准形式:
①当目标函数为时,可令Z′=-Z,而将其写成为
求得最终解时,再求逆变换Z=-Z′即可。
②当s·t·中存在形式的约束条件时,可引进变量
便写原条件成为
其中的xn+1称为松驰变量,其作用是化不等式约束为等式约束。
同理,若该约束不是用“≤”号连接,而是用“≥”连接,则可引进松驰变量
使原条件写成
2 单纯形法
单纯形法的基本原理
单纯形法迭代原理:
确定初始可行解
当线性规划问题的所有约束条件均为≤号时,松弛变量对应的系数矩阵即为单位矩阵,以松弛变量为基变量可确定基可行解。
对约束条件含≥号或=号时,可构造人工基,人为产生一个m×m单位矩阵用大M法或两阶段法获得初始基可行解。
最优性检验与解的判别(目标函数极大型)
当所有变量对应的检验数均非正时,现有的基可行解即为最优解。若存在某个非基变量的检验数为零时,线性规划问题有无穷多最优解;当所有非基变量的检验数均严格小于零时,线性规划问题具有唯一最优解。
若存在某个非基变量的检验数大于零,而该非基变量对应的系数均非正,则该线性规划问题具有无界解(无最优解)。
当存在某些非基变量的检验数大于零,需要找一个新的基可行解,基要进行基变换。
确定初始可行解
确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基,一旦初始的可行基确定了,那么对应的初始基本可行解也就唯一确定,为了讨论方便,不妨假设在标准型线性规划中,系数矩阵A中前m个系数列向量恰好构成一个可行基,即A=(BN),其中B=(P1,P2,…Pm)为基变量x1,x2,…xm的系数列向量构成的可行基,N=(Pm+1,Pm+2, …Pn)为非基变量xm+1,xm+2, …xn的系数列向量构成的矩阵。
所以约束方程就可以表示为
用可行基B的逆阵B-1左乘等式两端,再通过移项可推得:
若令所有非基变量,则基变量
由此可得初始的基本可行解
最优性检验
假如已求得一个基本可行解,将这一基本可行解代入目标函数,可求得相应的目标函数值
其中分别表示基变量和非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定是否已经达到最大值,只需将代入目标函数,使目标函数用非基变量表示,即:

其中称为非基变量XN的检验向量,它的各个分量称为检验数。若σN的每一个检验数均小于等于0,即σN≤0,那么现在的基本可行解就是最优解。
解的判别
定理1:最优解判别定理
对于线性规划问题,若某个基本可行解所对应的检验向量,则这个基本可行解就是最优解。
定理2:无穷多最优解判别定理
若是一个基本可行解,所对应的检验向量,其中存在一个检验数σm+k=0,则线性规划问题有无穷多最优解。
定理3:无最优解判别定理
若是一个基本可行解,有一个检验数,但是,则该线性规划问题无最优解。
基本可行解的改进
如果现行的基本可