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函数的单调性
一、【考点概述】
①理解函数函数的单调性、最大(小)值及其几何意义
②理解函数的单调性定义,掌握函数单调性的判定与证明、掌握一些初等函数的单调性、并掌握复合函数的单调性的判断。
③能利用函数单调性求函数的单调区间、最值、比较大小、
二、【重点难点】
①能运用定义法、导数法判断或证明函数的单调性
②能利用函数单调性求单调区间、最值、比较大小、解或证明不等式、求参数的取值范围等
③理解函数的单调性是函数的局部性质、最值是函数的整体性质
三、【知识回顾】

(1)定义:一般地,设函数的定义域为,
如果对于定义域I内的某个区间内的任意两个自变量,当时,都有,则称在区间D上是单调增函数,称为的单调增区间。
如果对于定义域I内的某个区间内的任意两个自变量,当时,都有,则称在区间D上是单调减函数,称为的单调减区间。
单调增区间与单调减区间统称为单调区间。
注意:
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质,这个子区间可以是整个定义域,也可以是定义域的某个子区间。
②若在定义域内的两个区间上都是增(减)函数,不能简单地认为在上是增(减)函数,也不能说的单调增(减)区间是,应该分开写或写成。如:在上是减函数,在上也是减函数,但不能说它在上为减函数,因为我们取时,有反而成了增函数,不符合实际。
③如果函数在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性。
④单调区间端点的写法:对于单独一个点,由于它的函数值唯一确定,无增减变化,所以不存在单调性,因此写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点。
⑤有些函数不具备单调性,如
-----中间变量法即“同增异减”
设复合函数,其中叫内函数,叫外函数,A是定义域的某个区间,B是映射的象集:
①若在 A上是增(或减)函数,在B上也是增(或减)函数,则函数在A上是增函数;
②若在A上是增(或减)函数,而在B上是减(或增)函数,则函数在A上是减函数。
用表格表示为:
①首先确定复合函数的定义域
②将通过中间变量U分解成两个基本函数
③根据“同增异减”法则判断复合函数的单调性
、最小值
(1)定义:
最大值:一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的,都有;②存在,使得。那么,称M是函数的最大值。
最小值:一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的,都有;②存在,使得。那么,称M是函数的最大值。
注意:
①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在,使得;
②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的,都有()。

(1)定义法:
利用定义证明函数在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
①取值:任取,且;
②作差:;通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差值符号的方向变形
③定号:即判断差的正负,当不能确定时,可分类讨论。
④下结论:若,则为增(减)函数。
若要证明在[a,b]上不是单调函数,只需举出反例即可。
*对于定义法它有几个变形:设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)直接法:
运用已知的结论,直接得到函数的单调性。
①正比例函数,一