随机信号分析课后习题答案.doc

第一次作业:练习一之1、2、3题
离散随机变量X由0,1,2,3四个样本组成,相当于四元通信中的四个电平,四个样本的取值概率顺序为1/2,1/4,1/8,和1/8。求随机变量的数学期望和方差。
解:
设连续随机变量X的概率分布函数为
求(1)系数A;(2)X取值在(,1)内的概率。
解:
由
得
试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数,如果是概率分布函数,求其概率密度。
(1)
(2)
(3)
(4)
解:(1)
当时,对于,有,是单调非减函数;
成立;
也成立。
所以,是连续随机变量的概率分布函数。
求得,
(2)
在A>0时,对于,有,是单调非减函数;
欲使和成立,必须使A=1。
所以,在A=1时,是连续随机变量的概率分布函数。
同理,
欲满足,也必须使A=1。
所以,
(3)
上式可改写为
对于,不成立。
所以,不是连续随机变量的概率分布函数。
(4)
当时,不满足,所以不是连续随机变量的概率分布函数。
第二次作业:练习一之4、5、6、7题
随机变量X在[α,β]上均匀分布,求它的数学期望和方差。
解:因X在[α,β]上均匀分布
设随机变量X的概率密度为,求
Y=5X+1的概率密度函数。
解:反函数X = h(y) = (Y-1)/5
h′(y) = 1/5 1≤y≤6
fY (y) = fX (h(y))|h′(y)∣= 1 ×1/5 = 1/5
于是有
设随机变量上均匀分布,且互相独立。若,求
(1)n=2时,随机变量Y的概率密度。
(2)n=3时,随机变量Y的概率密度。
解:
n=2时,
积分上下限选错了,此题答案有误
同理,n=3时,
设随机变量X的数学期望和方差分别为m和,求随机变量的数学期望、方差及X和Y的相关矩。
解:数学期望:
方差:
相关矩:
第三次作业:练习一之9、10、11题

[0,a]和[0,]上均匀分布,且互相独立。对于,证明:
证:rv. X和Y分别在[0,a]和[0,]上均匀分布
有和
因为rv. X和Y相互独立
命题得证
已知二维随机变量()的联合概率密度为,随机变量()与随机变量()的关系由下式唯一确定

证明:()的联合概率密度为
证:做由到的二维变换
=
=
随机变量X,Y的联合概率密度为
求:(1)系数A;(2)X,Y的数学期望;(3)X,Y的方差;(4)X,Y的相关矩及相关系数。
解:
(1)
(2)
同理
(3)
(4)相关矩
协方差
相关系数
第四次作业:练习一之12、13、14、15题
求随机变量X的特征函数,已知随机变量X的概率密度
解:
利用傅氏变换:
已知随机变量X服从柯西分布,求他的特征函数。
解:
利用傅氏变换:
求概率密度为的随机变量X的特征函数。
解:
利用傅氏变换:
已知相互独立的随机变量X1,X2,X3,…,Xn的特征函数,求X1,X2,X3,…,Xn线性组合的特征函数。ai和c是常数。
解:互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积。
第五次作业:练习二之1、2、3、4、5题
随机过程,其中为常数,A、B是两个相互独立的高斯变量,并且,。求X(t)的数学期望和自相关函数。
解:
()
()
()
若随机过程X(t)在均方意义下连续,证明它的数学期望也必然连续。
证: 由均方连续的定义,
展开左式为:
=
固有,证得数学期望连续。
证明随机过程存在均方导数的充分条件是:自相关函数在他的自变量相等时存在二阶偏导数。
证:
在时存在,
也就是存在。
判断随机过程是否平稳?其中为常数,A、分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量,且相互独立。
;
解:
与时间的起点无关,且
因此,是广义平稳的随机过程。
证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、B构成的随机过程
是宽平稳而不一定是严平稳的。其中为常数,A、B的数学期望为零,方差相同。
证:
()
因此,是广义平稳的随机过程。
可见,该随机过程构不成三阶平稳,因此不符合严平稳过程的要求。