二、定积分的分部积分法
不定积分
一、定积分的换元法
换元积分法
分部积分法
定积分
换元积分法
分部积分法
定积分的换元法和
分部积分法
一、定积分的换元法
定理1. 设函数
单值函数
满足:
1)
2) 在
上
证: 所证等式两边被积函数都连续,
因此积分都存在,
且它们的原函数也存在.
是
的原函数,
因此有
则
则
说明:
1) 当< , 即区间换为
定理 1 仍成立.
2) 必需注意换元必换限, 原函数中的变量不必代回.
3) 换元公式也可反过来使用, 即
或配元
配元不换限
例1. 计算
解: 令
则
∴原式=
且
例2. 计算
解: 令
则
∴原式=
且
例3.
证:
(1) 若
(2) 若
偶倍奇零
例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明:
解: (1) 记
并由此计算
则
即
(2)
并由此计算
周期的周期函数
则有
二、定积分的分部积分法
定理2.
则
证:
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