康托对角线法及其错误的实质.doc

康托对角线法及其逻辑错误的实质
沈卫国
内容摘要:在明确可数、不可数的严格定义的基础之上,对康托对角线法的逻辑基础进行了严密的分析,更明确地论证了康托对角线法并没有像其声称的那样证明实数集合不可数。
关键词:康托对角线法;一一对应;函数;可数;不可数;逻辑问题
笔者的历次文章,无论发表的还是没有正式发表的,对康托对角线法的要害问题,已经讲得很清楚了。这里更加明确一下。
我们说什么集合可数,就是该集合的每一个元素可以和自然数之间建立起一一对应的关系。而任何对应关系,也就是函数关系,都有具体的对应方式或“函数表达式”。也就是必须明确指明一个集合的哪一个元素,与另一个集合的哪一个元素去对应。并且对两个集合的所有元素,都必须明确这种对应关系。因此,没有什么抽象的、无特定方式的对应和函数。于是,我们说一个集合可数,就是说按照某一个具体的对应方式,我们可以使其每一个元素与自然数之间建立起一个一一对应的函数关系。当然,对应方式或两个集合(分别作为“定义域”与“值域”)间的函数关系有很多甚至无穷种(对有无穷多个元素的集合而言),因此,某可数集合与自然数之间、或者两个可数集合之间在某种具体的函数对应方式下未能建立起一一对应的关系,也就是建立的是非一一对应的关系,当然是正常的,也是极其普遍的。否则还要那么多函数何用?反过来说,也就是某一个集合在某具体的对应方式或函数关系下未能与自然数建立一一对应的关系,也就是建立的是一对多的关系,并不就说明、“证明”了该集合就不可数。显然,可数只需要在一种对应方式下于某集合与自然数间建立起一一对应关系就够了。而不可数,却并不是仅在一种具体的对应方式下某集与自然数间不能一一对应,就是不可数了。而是所有的、甚至无穷种对应方式下都不能与自然数一一对应才是不可数。这些问题明确了,我们就可以具体谈康托在其对角线法中所犯的逻辑错误的实质了。
传统的、“经典的”康托对角线法严格讲应该区分为其“表述”与“实质”两部分。所谓“表述”,就是我们通常所看到的、教科书上所写明的。在这个表述中,根本就未见关于其所采取的对应方式的任何“表述”,因此,缺失如此重要的逻辑要件的“表述”,必然是、也只能是一个远不完备的表述。显然,康托本人及其传承者根本就没有意识到这个问题的存在,更不用说理解其重要性了。于是,造成的后果就是错把一个原本必须依赖某个具体对应方式(规则)的结论,当成了普遍的、一般性的结论了。逻辑上,就是无意中犯下了“以特殊代替一般”的错误。我们说,康托对角线法中没有被明确表述的内容,并不等于其不存在。所谓其“实质”部分,就是康托对角线法能够进行下去所必须依赖的那些没有被明确指出的、“隐含的”对应方式(规则)。没有它们,康托对角线法无法进行下去,也就根本谈不上什么对角线法了。经常有人声称,康托对角线法在逻辑上简单明确、干净利索,其反证法没有任何瑕疵,所以无问题。但他们所依据的,是那个并不完备的“表述”,把一个特殊情况下的结果,当成了一般意义的下的结果了。因此,真正的康托对角线法的完备的表述,必须要有这些被掩盖、隐含着的逻辑要件、推理前提、对应关系。要使其“显化”。如此一来,正如笔者前面十几篇论文所阐述的那样,康托对角线法的逻辑问题立刻显现,其对反证法的使用方式,由于缺少了逻辑要件(忽略了某些因素、前提、条件),根本不能成立。康托对角线法充其量只是“