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反证法与康托的对角线论证
【摘要】人类对于实数的研究,是经过许多卓越的数学家的努力,才能达到今天的水准,康托对集合论中的无穷集作出了突出贡献,他的对角线论证,,证明了自然数集与实数集大小的关系问题.
【关键词】自然数集;实数集;无穷;反证法
对角线论证,可以回答的问题像是:给你无限长的时间,你能否把所有的实数数完?而判断能不能数完,,如何来比较它们之间元素个数的关系呢?看似没有头绪的问题,康托却巧妙地仅仅通过抽象的论证,就证明了这个看似无从入手的问题.
如何比较两个集合的大小?
讨论如何比较两个集合的大小,先从一个简单的例子说起,假设许多观众涌入一个礼堂,我们如何判断观众数和座椅数的关系?
第一种方法,,我们可以分别数一数观众与座椅,然后将两个数字加以比较,如果这两个数一样,,在无穷集是没有办法实现的.
第二种方法,,当观众全部进入以后,如果刚好把座椅全部坐完,那么人和座椅的数目就是相等的,在这种状况下,,人们数数也是建立在这种一一对应的基础上的,数数是把人数或座椅数和自然数做的一一对应,一一对应的观念是比自然数的数数更基本的观念.
乔治?康托对这一概念作出了如下定义:
如果能够根据某一法则,使集合M与集合N中的元素建立一一对应的关系,那么,集合M与集合N等价.
为什么(0,1)之间的实数与全体的实数一样多?
将(0,1)线段弯成半圆弧形,圆心为O,.
因为圆弧是由(0,1)线段弯曲而成,所以上面的点仍然代表线段(0,1),分别交圆弧于A1点,交实数线于A2点,则A1与A2就是对应的,同理可以看出B1与B2对应,C1与C2对应,而实数线无穷远处的点与圆弧的两个端点对应,这样整个圆弧上的点就和这条无限延伸的实数线上的点一一对应起来,这也就证明了(0,1)集合与实数集的大小是相等的,(0,1)之间的实数与全体的实数一样多.
为什么实数永远数不完?
判断实数能不能数完,实质是比较自然数集与实数集之间的大小关系,因为两个集合都是无穷集,所以用数数的办法是不可能办到的,,也就是建立自然数与实数的对应关系,因为前面已经论证(0,1)之间的实数与全体的实数一样多,所以在这里完全可以用(0,1)(0,1)集合与自然数集之间的大小关系.
康托的对角线论证,采用的是大家熟悉的反证法,首先假定区间(0,1)内的实数能够与自然数一一对应,然后,:从(0,1)随机取一个数记为a1与自然数1对应,然后再取一个数记为a2与自然数2对应,依此类推,我们不在