康托尔对角线方法与证明实数不可数之谬.docx

康托尔的对角线方法及证明实数不可数之谬
(修改第2版)
张先胜
摘要：康托尔构造了对角线方法用于证明实数不可数，并被多种学科之问题证明所借用，得到诸多新奇结论。但是，康托尔的对角线方法本身是错误的，从不同角度，用几种简明方法进行了分析证明。故，实数集的不可数性质之对角线方法证明无效，同理，多种学科之问题借用对角线方法证明也无效，需要另找其它方法证明或证伪。
关键词：数学基础 集合论 基本概念 不可数集合 证明无效
中图分类号：
文献标识码：A
0．0引言
康托尔构造了对角线方法证明实数集不可数，并被多种学科所借用。但，自始迄今质疑声不断。本文用几种简单明了直破其谬的方法分析证明了康托尔对角线方法本身是错误的，用于实数集不可数证明无效，同理，多种学科借用对角线方法证明也无效。

康托尔为证明实数不可数，构造了对角线方法。其证明实数不可数的步骤简述如下:
为证明R(实数集)是不可数的，只要证明[0,1]⊆R不可数。
现用反证法，设[0,1]可数，则可设0,1=a1,a2,⋯,an,⋯。由于an∈[0,1]，故可用无穷十进制小数表示，并将这些数依次列出：
a1=⋯a1n⋯
a2=⋯a2n⋯
a3=⋯a3n⋯
……
an=⋯ann⋯
……
现定义一数b=⋯bn⋯，其中
bi=aii+1 aii<9,0 aii=9.
有的资料里定义为：b=⋯bn⋯，其中
bi=5 aii≠5,4 aii=5.
bi的这两种定义对构造对角线数没有实质区别，目的使b的每一位数字bi与aii不相等。
则显然数b∈[0,1]。但bi≠aii，i=1,2,⋯,n,⋯⋯。故而b与[0,1]中任何一个实数ai不相等。因此，上述假设[0,1]实数可数的列示表中就没有实数b，即找到了一个未能被可数性列示的实数b。即证明了[0,1]中存在不可数的b数，从而R不可数。[1]
康托尔特别声明将有限小数写成无限循环小数，在实数系(或者标准分析数系)里两数相差无限趋近于0且极限为0的无穷小被视为相等（因为极限能满足任意有限精确度，但不满足绝对精确度）。例如：=⋯9∞。如此则可将[0,1]间的全体实数以无限循环小数(含0循环节)或者无限不循环小数的形式表示。其实，取0,1左闭右开区间其证明也相同。

： 0,1(左闭右开区间)的全体实数不是有限多个，有无穷多个。
证明：显然。(实数理论早已证明。)
例如1不断除2之数，可以无限制进行下去，且无限制地生成确定的实纯小数。且左闭右开区间0,1中的有理数和无理数都有无穷多。
：任何一个实数，例如实纯小数0,1(左闭右开区间)，其每一位数都是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字之一。
证明：显然。十进制只有此十个数字再加一个小数点表示一切数。
：任何一个实数，例如左闭右开区间[0,1)的无穷多个实数，任何一个实数的所有数位的数字取值都是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字的重复使用，由0~9十个数字的不同排列构成，相同排列构成相等的数，不同排列构成不相等的数。概莫能外，且无一不在其内。
证明：显然。十进制规定如此。根据性质2和性质1易得。
：对于有限小数则可视为是0循环节的无限循环小数，而0循环节前面的有限个0~9的全排列构成一切有限小数；对于所有无限循环小数则是非循环部分加上循环节长度的有限个0~9的全排列及循环节所构成的一切循环小数；对于所有无限不循环小数则是无限个0~9的全排列构成一切无限不循环小数(含开根无理数和超越数)。
在0,1(左闭右开区间)中的无穷多个实数中，无论是有限小数、无限循环小数、无限不循环小数
都是：
从小数点右边第1位数看是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字取其中1个数的全排列共A101=10!(10-1)!=10种情况之无限重复取用。
同理，从小数点右边第2位数看是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字与第1位十个数字的可重2排列共102=100种情况之无限重复取用。
……
以此类推，从小数点右边第n位数看是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字与第1至第(n-1)位十个数字的可重n排列共10n种情况之无限无限重复取用。
……。[2]
不难类推，二进制及以上任何进制数系都有类