康托实数集合不可数证明中的四种错误探析.doc.doc

第31卷第6期喀什师范学院学报 Vol. 31
2010年11月 Journal of Kashgar Teachers College Nov. 2010
康托实数集合不可数证明中的四种错误探析(1)
欧阳耿
(漳州师范学院数学系,福建漳州 363000)
摘要从逻辑、无穷观、极限论和证明思路及具体的操作过程分析了新发现的康托在实数集合不可数证明中所存在的四种错误。得到明确的结论:与现有经典无穷理论体系、经典极限论和经典数量体系密切相关的数学基础理论中所存在的缺陷,使康托的这类证明成了300多年来悬而未决的“重形式--轻本体”的贝克莱悖论的现代翻版,特别是其中的逻辑错误使这样的证明无意中成了一种典型的数学魔术。
关键词数学基础;实数集合不可数性;无穷理论体系;逻辑;对角线法;极限论;反证法
中图分类号: O143;O144 文献标示码: A 文章编号:1006-432X(2011)06-0017-05
1 引言
文献[1-10]讨论了数学基础理论中与现有证明论、经典无穷理论体系、经典极限论和经典数量体系密切相关的主要缺陷。本文探析由这些缺陷所导致的康托“实数集合不可数证明”中的思路和操作过程中存在于不同层次上的四种错误。
2 康托关于实数集合不可数的证明
康托在两个证明中分别用区间套法和对角线法证明了自然数集和实数集之间不可能建立一一对应,即实数集不可数[11]。这两个证明都采用反证法,虽然繁
简差别很大,但在思路上与操作上是完全相同的。现将这两个证明简述如下。
采用区间套法的证明
假定实数集可数,全部实数必定可排成一个序列,用极限论方法写出该序列中的每一项:
,,,…,, (1)
于是在自然数集与实数集之间构成了一一对应。然后用区间套法证明以极限论方法写出的序列(1)并不包含实数集合中的全部元素而得出结论。
采用对角线法的证明
。
假设实数集合(0,1)是可数的,全部实数必定可排成一个序列,我们把0与1之间的每个实数写成-----------------------------------
收稿日期:2010– 01 --15
作者简介:欧阳耿(1957—)男,福建漳州人,副教授,研究方向为数学基础与科学方法论。
(1)原文为2010年8月在印度召开的第26届世界数学家大会15分钟发言稿。
…,用这个方法将实数集合(0,1)中的全部实数枚举出来,得到序列:
,,,,…, ,…(2)
于是在自然数集合与实数集合(0,1)之间必然构成一一对应。然后用对角线法证明以无穷小数方法写出的序列(2)并不包含所要证明的实数集合中的全部元素而得出结论。
我们的研究表明,康托这两个证明都存在非常隐蔽、严重的错误。实际上,这类证明必有如下三个步骤:
第一步,首先是公开假设如果所要证明的实数集合可数,则实数集合中的全部元素必定可排成一个与自然数集合中元素构成一一对应的序列(这个假设是符合逻辑、正确的,符合反证法的证明程序);其次是暗地里规定实数集合中的全部元素可以用证明中所用的传统极限论方法或与之密切相关的无穷小数方法写出,这样就构造出序列(1)或(2),继而荒唐的规定用它们来代表