康托对角线法并没有证明实数集合不可数的一个极其简单明确的证明.doc

康托对角线法以及区间套法并没有证明实数集合不可数的一个极其简单、明确的证明及其逻辑问题分析
西北工业大学前逻辑与人工智能研究所(西安市,710072) 沈卫国
内容摘要:在前期一系列论文的基础上,提出康托对角线法以及区间套法在证明实数集合不可数过程中的一个明显逻辑问题。康托对角线法在实数的小数表示法每位的多值性前提下在对角线上通过逐位求反得到的那个原序列之外的著名实数,却完全可能是一个有理数。而有理数是可数的,所以,在这种情况下,我们当然不能在假设列出所有有理数的情况下就宣称证明了有理数不可数;类似地,我们也不能在假设列出所有实数或无理数的情况下,就宣称证明了实数或无理数不可数。原因很简单,此时对角线法在对角线上得到的新数是可数的有理数,因此无法证明无理数究竟是否真的没有被全部列出(也就是不可数),而如果我们假设对角线上逐位求反后只允许产生无理数,则这无疑等于附加了对角线法的一个硬性假设。这明显会使其反证法的运用出现问题,整个证明也不成立。区间套法本质上与此类似。实数集合的不可数性尽管广为人们所接受,但其造成的问题很多。它使所谓的数学基础变得极其庞杂繁复并充满矛盾。甚至比指望其提供坚实基础的其它数学分支还要复杂混乱,这只能说明该理论本身有问题。本文的价值,与罗素当年提出罗素悖论类似。将使集合论、数学基础、数理逻辑、数学哲学、人工智能等相关问题获得澄清与发展。
关键词:康托对角线法;区间套法;实数;无理数;有理数;可数;不可数;证明
一、康托对角线法以及区间套法并没有证明实数集合不可数的一个简单证明
笔者的一系列文章早已证明康托对角线法并没有证明实数集合不可数。这里给出一个更加简单、明确的证明。此证明的基本思想在以往笔者论文中也有涉及。此处更加强调一下。
我们说,要想证明一个集合不可数,无论用什么方法,都不能用一个属于可数集合的元素甚至整个可数集合在该集合之外来证明。比如要证明实数集合或无理数集合不可数,是不能通过指出有一个有理数(更明显地,自然数)甚至全部有理数都不在所列出的实数或无理数集合中来实现的。因为在已经列出的实数中缺少有理数,固然说明实数没有被全部列出,但其缺失的仅仅是可数的有理数部分,此时实数中的无理数部分并没有被证明其未被全部列出,而实数集合中如果仅仅是可数的有理数没有被列出,并没有证明无理数也没有被列出,也就是并不能证明实数集合不可数:因为无理数而不是已被证明是可数的有理数没有被列出,是无理数进而实数不可数的必要条件(注意,并不是充分条件。也就是即使有无理数未被列出,也不就证明了实数不可数了。笔者以往的论文,大部分是针对此点展开的。而此文是着重必要条件展开的)。而某个无论其可数与否的集合加减有限甚至可数无限个元素后,其可数性不变。这里可以举更直观些的一个例子:如果我们要想证明所有负数不都在这里,我们必须要找出不在这里的负数。如果我们仅仅证明或指出不在这里的是个(或“些”,甚至“全部”)正数,能得到负数不全在这里的结论吗?当然不能。因此,由康托对角线法如果可以证明实数集合不可数,必须满足对角线上新产生的那个实数必须是个无理数,而不能是有理数。但此点如何保证?其实并没有任何理由可以排除对角线上不会产生有理数。正如没有任何理由可以排除对角线上不会产生无理数一样。因为对角线上由求反(不失一般性,这里指在二进制下,下同)下产生的那