可数集元素的重排与“康托的对角线法”.doc

二剖析康托对[0,1]“不可数”的两个证明
山东枣庄二中赵录(emall:zhaolu48@)
实数集是不可数集,象欧几里得几何的平行公理一样,只应当是一个公理,是不可证明的。
康托曾分别用区间套方法(1874年)及对角线方法(1890年)证明[0,1]“不可数.”
下面是在网上查到的,1874年康托的区间套法的证明:
设A=,证明中就是设[0,1]=A
由证明知道,x1,y1是四个从小到大排列的四个数中相邻的两个,既然令[0,1]=A,是应当有x1,y1∈A的。xn,yn是3n+1+1个数中相邻的两个数,那么也应当有xn,yn∈A,而,也应当是β∈A的,即β∈。而不应当有证明中的。
为什么会这样呢?因为康托把数列极限的定义都用错了。若A是数列{an}的极限,根据数列极限的定义,对任意的ε>0,存在N,当n>N时就有|an-A|<ε。而分析证明知道,对任意的N,只有当n
≤N时,才肯定会有an,而不是n>N。康托连这样低级的错误都会犯。因此说这个证明有点荒唐,不算过分。这也可能是大多数《实变函数论》的教材只选对角线法的证明,而不选这个区间套法证明的原因之一吧?
再看康托是怎样利用对角线法证明(0,1)不可数吧【注】。
集G=(0,1)是不可数集。
证用反证法,设G是可数集,则G中所有实数可表为G={x1,x2,x3,…,xn,…},其中每个xn可表成十进无限小数的形式:
xn =0. xn,1x n,2…xn,n…(n=1,2,…),       (1)
当规定有限小数写成以9为循环节的无限小数时,…9…,上述表示是惟一的.
取a=…an…,使之满足:
①对任给的n,an≠0, an≠9;②an≠xn,n,例如,可取
(2)
则从①,0<a<1,即a∈G;但从②, a又与(1)中的任一xn都不相同,即a{xn},.
对于有限集X与{x1,x2,x3,…,xn},若找到一个a∈X,a{xn},下结论说X≠{xn}是没有疑问的。对于无限集也可以下这样的结论吗?在康托的理论中也找不到这样的根据的,反之,在康托的理论中却