落实康托对角线法问题详析及由此引出的反证法使用中必须注意的.doc

康托对角线法问题详析及由此引出的反证法使用中必须注意的误区
西北工业大学前逻辑与人工智能研究所(西安市,710072) 沈卫国
内容摘要:在前期一系列论文的基础上,提出康托对角线法以及区间套法在证明实数集合不可数过程中的明显逻辑问题,其本质是反证法在这个具体的使用案例中出现了以往难以察觉的问题。实数集合的不可数性尽管广为人们所接受,但其造成的问题很多。它使所谓的数学基础变得极其庞杂繁复并充满矛盾。甚至比指望其提供坚实基础的其它数学分支还要复杂混乱,这只能说明该理论本身有问题。本文的实际意义有两个方面,一是数学基础、集合论方面,提出并澄清了一系列的问题,有助于它们的健康发展;二是逻辑学方面,提示人们反证法使用中的误区,提醒人们对任何逻辑、数学结论、证明,都应该采取更为严格、慎重的态度,甚至可以直接将本文揭示出的问题作为典型案例纳入教学中。
关键词:康托对角线法;区间套法;实数;无理数;有理数;可数;不可数;反证法
一、康托对角线法以及区间套法并没有证明实数集合不可数的一个简单证明
笔者的一系列文章早已证明康托对角线法并没有证明实数集合不可数。这里给出一个更加简单、明确的证明。此证明的基本思想在以往笔者论文中也有涉及。此处更加强调一下。
我们说,要想证明一个集合不可数,无论用什么方法,都不能用一个属于可数集合的元素甚至整个可数集合在该集合之外来证明。比如要证明实数集合或无理数集合不可数,是不能通过指出有一个有理数(更明显地,自然数)甚至全部有理数都不在所列出的实数或无理数集合中来实现的。因为在已经列出的实数中缺少有理数,固然说明实数没有被全部列出,但其缺失的仅仅是可数的有理数部分,此时实数中的无理数部分并没有被证明其未被全部列出,而实数集合中如果仅仅是可数的有理数没有被列出,并没有证明无理数也没有被列出,也就是并不能证明实数集合不可数:因为无理数而不是已被证明是可数的有理数没有被列出,是无理数进而实数不可数的必要条件(注意,并不是充分条件。也就是即使有无理数未被列出,也不就证明了实数不可数了。笔者以往的论文,大部分是针对此点展开的。而此文是着重必要条件展开的)。而某个无论其可数与否的集合加减有限甚至可数无限个元素后,其可数性不变。这里可以举更直观些的一个例子:如果我们要想证明所有负数不都在这里,我们必须要找出不在这里的负数。如果我们仅仅证明或指出不在这里的是个(或“些”,甚至“全部”)正数,能得到负数不全在这里的结论吗?当然不能。因此,由康托对角线法如果可以证明实数集合不可数,必须满足对角线上新产生的那个实数必须是个无理数,而不能是有理数。但此点如何保证?其实并没有任何理由可以排除对角线上不会产生有理数。正如没有任何理由可以排除对角线上不会产生无理数一样。因为对角线上由求反(不失一般性,这里指在二进制下,下同)下产生的那个实数的前n(可任意大)位循环,也不可能断定后面就一定循环;或者无论有多少个0,也不能断定其后就还是0。反之,前n位不循环,也不能证明到其后某一位后开始循环了,或者全部是0了,也就是是个有理数了。于是,康托对角线法失效。也就是康托对角线法的必要条件“对角线上求反得到的必然是个无理数”的要求是无法被确定、证实的。它甚至根本就是错的,因为前文已述,没有任何理由认定有理数不会在对角线上被求反产生。或者更直观些,我们起码需要一条假设作为整个证明的必要条件:对角线上由求反得到的那个不在已经列出的实数之列的新实数是个无理数。可如此一来,康托对角线法就实质上需要两条假设了:一条是传统的实数可数,也就是可以全部地列出所有实数,特别是无理数;而另一条是对角线上新产生的数为无理数,这等价于命题“有不在原列表中的无理数存在”(再一次强调,这个命题在这里不是作为证明结论,仅仅是一个假设)。也就是全部无理数可列出同时也不可列出,两个假设直接矛盾。因此康托对角线法的假设就有问题,整个证明自然不能成立。
此处再用简洁的语言复述一遍这个证明:如果康托对角线法对实数不可数的证明是正确的,就必须首先证明其对角线上求反产生的那个数是无理数(作为必要条件。而且总是无理数)。但这个“证明”是给不出的,其反命题倒更合理(会产生有理数)。而如果产生的是有理数,原先所列出的起码就有可能是全部无理数。也就是无理数可能可数。因此,用康托对角线法求证实数不可数的必要条件不具备,康托对角线法证明实数不可数的证明不能成立,其结论是错误的。得证。
还必须强调一点:仅仅以某种方式列不出某集合的全部元素,并不就是不可数。必须在任何方式下都列不出才是不可数。一些人经常有意无意地把二者相互混淆,因此自然得不到正确的结论。否则任何无穷集合,都可以在某种对应方式下得到其一个真子集,那岂不是所有无穷集合都成了不可数集了?
总之,由于康托早已证明了有理数是可数的,那么,