第三章 微分中值定理与导数的应用习题课.ppt

第三讲微分中值定理与
导数的应用
习题课
内容提要
典型例题
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一、内容提要
1. 理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日(Lagrange)
2. 了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.
3. 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数
定理.
的单调性和求极值的方法.
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5. 会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.
6. 了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和
曲率半径.
4. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,
会求解最大值和最小值的应用问题.
会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线).
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洛必达法则
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
常用的
泰勒公式
Cauchy
中值定理
Taylor
中值定理
单调性,极值与最值,
凹凸性,拐点,函数
图形的描绘;
曲率;求根方法.
导数的应用
一、内容提要
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罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒中值定理
)
)(
(
)
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
x
f
-
¢
+
=
a
b
a
f
b
f
f
-
-
=
¢
)
(
)
(
)
(
x
0
=
n
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2. 微分中值定理的主要应用
(1) 研究函数或导数的性态
(3) 证明恒等式或不等式
(4) 证明有关中值问题的结论
(2) 证明方程根的存在性
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利用
一般解题方法:
证明含一个中值的等式或根的存在,
若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用
若已知条件中含高阶导数,
若结论中含两个或两个以上的中值,

(1)
可用原函数法找辅助函数.
(2)
柯西中值定理.
中值定理.
(3)
(4)
有时也可考虑
多考虑用泰勒公式,
逆向思维,
设辅助函数.
多用罗尔定理,
必须多次应用
对导数用中值定理.
(5) 若结论为不等式, 要注意适当放大或缩小的技巧.
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(1) 研究函数的性态:
增减,
极值,
凹凸,
拐点,
渐近线,
曲率
(2) 解决最值问题
目标函数的建立
最值的判别问题
(3)其他应用:
求不定式极限;
几何应用;
相关变化率;
证明不等式;
研究方程实根等.

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二、典型例题
例证明方程
在(0,1)内至少有一实根
[分析]
如令
则
的符号不易判别
不便使用介值定理
用 Rolle 定理来证
证
令
则
且
故由Rolle 定理知
即
在(0,1)内有一实根
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且满足罗尔定理其它条件,
练习
证:
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