中值定理与导数的应用B.doc

《高等数学》试卷
中值定理与导数的应用(B卷)
班级学号姓名成绩
(10*3=30)
1、(拉格朗日中值定理)若函数满足:(1) (2) ;则在区间(a,b)内至少存在一点,使得=。
2、求函数在的二阶麦克劳林公式。
3、线在区间___________上是凸的,在区间___________上是凹的,拐点为________________.
4、函数的水平渐近线是。
5、函数以为极限,函数图形以为拐点,则=
,b= ,c= ,d= .
二:   用洛必达法则求下列极限.(6*5=30)
1、

2、
3、
4、
5、

三 、  求出曲线的渐近线。(7分)
四、求函数的极值.(7分)
四、当时,证明. (7分)
五、铁路线上AB段的距离为100公里,工厂C距A处为20公里,AC垂直于AB,为了运输需要,要在AB线上选定一点D向工厂修建一条公路。已知铁路每公里运费与公路上每公里运费之比为3:5。如要使货物从B运到工厂的运费最省,问D点应选在何处?(9分)
六、求在上的最大值和最小值。(10分)
答案
第四章(A卷)
一填空
1 在闭区间上连续在开区间内可导
2
3
4
5 3 32
二极限
1 0
2 1
3 1
4
5
三证:因为,所以是原曲线的水平渐近线;
由,所以是原曲线的垂直渐近线。
四解:,除外,处处可导,令,得驻点,
由极限第一充分条件得在处取得极大值2,在处取得极小值。
五证:因为在区间上符合拉格郎日中值定理条件,所以存在,使得,即,即时,原式成立。
六证:据题意可设D点距B点公里,铁路每公里运费为3,公路每公里运费为5,则货物从B运到工厂的运费F为的函数:

令,得115(舍去)
,,,
所以D点距B点85公里处时运费最省。
七证:令。得驻点,给定区间内没有不可导点,因为
,,,,,故处取得极小值5,处取得极大值19。