最值定理的引申及应用.pdf

‘.袭张焉冤舅舅髭7中学数学杂志2009年第3期最值定理的引申及应用山东省曲阜市小雪北林中学273100段翠红山东省曲阜市一中273100曲桂格最值定理是指:设菇,),都为正数,则有①若z+,,=5(和为定值),则当且仅当石,=Y时,积彬取得最大值};②若xy=P(积为定值),则当且仅当菇=),时,和戈+y取得最小值2√,但如果其中的茗和Y不相等,,给出当算≠y时,如何求z+Y=S的最小值(最大值)或xy=P的最大值(最小值):已知茗,),∈R+,工+),=S,xy=P.(1)如果P是定值,当I髫一yl最大时,5的值最大;当I菇一yl最小时,S的值最小.(2)如果5是定值,当I菇一,,I最大时,P的值最小;当f菇一),I最小时,<石≤Y,Iz—yI=Z因为名+Y=S,y一菇=T,所以戈=学胪半,P=xy=竽.(1)当P为定值时,S2=4P+严,因为S>0,T≥0,所以若P为定值,当T=I髫一yI最大时,s的值最大;当T=I省一),I最小时,S的值最小.(2)当S为定值时,P:￡≠.因为S>0,T≥0,所以若S为定值,当T=I菇一yl最大时,P的值最小;当T=Iz—yI最小时,:例l若p∈(o。,90。],求函数),2sinO+∈(0。,90。],sinO>0,÷=>0且sinO·÷=3为定值,而sin0≠去,T=lsin081nO一南l2南一sin0,当0∈(o。,90。]时,r关于p为减函数,所以0=900时,r有最小值2,由引申定理知,此时,,曲=∈(0。,90。],所以sin0∈(0,1],所以y=sin0+志=sinp+志+志因为sin0+南≥2√sin日南=2,当且仅当sin0=1时,=1时,±也取得最小值2,sin仃所以),ⅡIi。=,方法2通过拆分,),:磐的最小值.√戈‘+4¨瓮,/x42厢+志,/x2+2+4因为√雨>0,—≤兰>0,且、压啊·√z‘+4志4堋旭而≠志,/x,√菇2+。+4所以T=I厢一士I-厢一√戈‘+4—兰,易知T在[o,+∞)上为增函数,√x‘+41所以当z=0时,丁有最小值÷,由引申定理知,Y有最小值÷.例3设不等式COS20+2rosin0—2m一2<0,0∈[0,要)恒成立,(1一m)<1一sin0+1一sin0’因为0∈[o,要),所以0≤sin0<1,所以0<l—sin0≤§己锨垒^徽4躞黝岛铝嚣霓i愿窭0畦爹设以0)=1一sin0+t‘,要使原不等式成l—SInff立,当且仅当2(1一m)<八0)而。.因为1一sinO>0,_乇>0,且(1一sinO)·l—Sin伊r?品=2为定值,1‘一sin口≠r?刍,又丁=I(1一sinO)一高卜高一(1一sin0)在0E[0,要)时为增函数,所以当0=0时,r取最小值1,此时以0)面。=(1一m)<3,得m>一i1,:所以m的取值范围为[一虿1,∞).例4设椭圆与+与