正射影及三垂线定理及其逆定理.ppt

正射影和三垂线定理
蝇
(2) 正射影和三垂线定理
一、点在平面上的射影
自点P向平面α引垂线,垂足P1叫做点P在平面α内的正射影(简称射影)
P1
P
α
如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形,则叫做图形F在这个平面上的射影.
二、图形在平面内的射影
如果一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那么这条直线叫做平面的斜线(直线PA).
P
A
O
a
α
斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段(线段AP).
斜线和平面的
交点叫做斜足(A).
容易看出:,斜线PA上的点A是斜足,PO ⊥α,点O是垂足,则直线PA在平面α内的射影就是直线OA.
P
A
O
a
α
PO,PA分别是平面α的垂线、斜线, OA是PA在α内的射影,直线a在平面
α内,且a⊥ OA
P
A
O
a
α
∴a ⊥PA
∴a⊥平面POA.
又 a ⊥OA,PO∩OA=O,
∴PO ⊥a.
证明:
求证:a ⊥ PA.
已知:
∵PO ⊥α,
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理
P
A
O
a
α
三垂线定理
一个平面(垂面)
四条直线(垂线,斜线,
射影,平面内直线)
P
A
O
a
α
A

a
O
P
A

a
O
P
三垂线定理基本图形的特点分析
1:一面
2:四线
3:三垂直
线面垂直
线射垂直
线斜垂直
正
逆
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
及其逆定理
1、两平行直线在一平面内的射影不可能是( ) A、两平行直线 B、两点
2、两直线在平面内的射影是两相交直线,则这
两直线的位置关系不是( ) A、两异面直线; B、两平行直线
C、两相交直线 ; D、以上都不对
巩固练习:
D
B
,直线a ⊥c,则a与b             ( )


C、一条直线 D、两相交直线
D