正余弦定理及解三角形.doc

正、余弦定理及解三角形
浙江省永康市古山中学(321307) 吴汝龙
一、学习目标
、余弦定理和三角形得面积公式,并能应用这些公式解斜三角形。
、俯角、视角、方位角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义;
、余弦定理及相关公式解决诸如测量、航海、天体运动、物理、几何等方面的问题;
,能准确理解题意,分清已知和未知,并能把这些实际问题转化为数学问题,培养学生分析解决实际问题的能力。
二、重、难点
重点:正、余弦定理及其证明;用正弦定理、余弦定理解三角形
难点:定理的推导;从实际问题中抽取出数学模型
三、学法引导
传统处理方式是先推证。各式除以而得到正弦定理。而现在则以向量方法进行定理推证,并贯穿始终,利用平面向量的数量积把三角形的边长与内角的三角函数联系起来。以向量作为数形结合的工具,把几何问题转化为代数运算。在定理推导过程中运用分类讨论的方法。以及从特殊到一般的方法,把在直角三角形中得到关系式先推广到锐角三角形,然后推广到钝角三角形。
从出发,以向量的数量积作工具把向量的长度和三角函数联系起来进行研究。余弦定理实质是刻划三角形两边及其夹角的余弦与第三边的关系的定理,它是勾股定理的推广。
四、知识精析

(1)正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,即在中
(其中R为外接圆半径),
上式对任意三角形均成立。
(2)利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题
①已知三角形的两角和任一边,求三角形的其它边与角;
②已知三角形的两边和其中一边的对角,求三角形的其它边和角。

(1)余弦定理:三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即在中,
余弦定理还有另一种形式,
若令,则,这就是勾股定理。
(2)关于余弦定理的证明
课本上已给出了余弦定理的证明,下面再给出两种证法,以便开阔视眼和广开思路,提高我们分析问题、解决问题的能力。
证法一:(以向量为工具的证明方法)
在中,如图
显然有,
所以
也就是
同理可得,。
证法二:(利用三角函数和两点间距离公式的证明方法)
首先建立直角坐标系,以A为原点,为轴建立直角坐标系,如图,则可得点A、C坐标为,,
设点B的坐标为,由三角函数的定义,得,,
即点B的坐标为
根据两点间的距离公式,得,
也就是,
同理可得,。
(3)利用余弦定理,可以解决一下两类三角形的问题
①已知三边,求三个角;
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。
,须掌握的三角关系式
在中,以下的三角关系式,在解答有关的三角形问题时,经常用到,要记准、记熟、灵活地加以运用。
;
,;
,;
,,。
,通常要根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出所要求的量,从而得到实际问题的解。其中建立数学模型的思想方法,也是我们学习数学的归宿,用数学手段来解决实际问题,是学习数学的根本目的所在。
解题时应根据已知与未知,合理选择正、余弦定理使用,使解题过程简洁,要达到算法简练,算式工整、计算准确。
(1).解斜三角形应用题的步骤
①准确理