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第卷第期经济数学
年月
关于广义特征值的一个型定理’
刘裔宏熊慧军
长沙大学数学与信息科学系,长沙
摘要引理对于矩阵特征值的估算十分重要本文利用经济分析中常用的特珠矩阵的相关性质
在引理的基础上,针对广义特征值问题证明了一个更加复杂的型定理
关键词广义特征值,非负矩阵, 矩阵,不可约矩阵, 引理
众所周知,非负矩阵的特征值根理论与经济模型之间存在着紧密的关系著名的
根不仅给出了线性模型增长率的极限,同样也给出了非线性模型增长率的极限
引理有的著作中称之为定理是讨论非负矩阵特征值性质的一个重要定理,在普通
特征值问题的理论探讨中十分有用本文旨在针对广义特征值问题给出一个类似的
型定理,试图为广义特征值与普通特征值的并行研究架设桥梁
预备知识〕〕
用””表示实复维向量空间,””表示实复矩阵空间· 设二矛,
任’””,如果
、, , ,,⋯, ,,⋯,
则称为非负矩阵,记作设、任’八”,如果一,则记作对于任意的
。任’”,用】表示以匆之模为元素的非负矩阵,即二。
设任””,用双表示的谱,即
只二穴任七,任,并圣
用表示的谱半径,即
又卜人任几
非负矩阵的特征值的理论涉及多种特殊矩阵,其中最重要的是矩阵和不可约矩阵
设任’”“”,如果
、,镇共, 一‘
则称为矩阵矩阵有大量等价的定义,本文引用的这一定义蕴涵了矩阵与非负矩
阵的关系
设任只”,,如果存在欠置换矩阵尸,使得
﹁


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七
· 收稿日期一一
经济数学第卷
其中,是二子矩阵,是一一子矩阵,簇,则称为可约矩阵否则,
称为不可约矩阵
非负矩阵可分为可约和不可约两类引理是关于不可约非负矩阵的一个重要定
理设、〔口又”,如果镇,则簇镇,此时对的任一特征值又,成立
川镇爪如果簇,而且为不可约矩阵,则当且仅当,即取形式
二‘声一’, 二‘口,,‘口,,⋯,‘气
笋,,,氏任
并且几,是的特征值时,夕尸成立这就是引定理兀‘〕依据
引理导出的有关矩阵范数、界和和谱半径的许多结果具有深刻的实际背景,它们在
系统建模、模型求解和数据分析中有广泛应用
定义与引理
设、任”火”,广义特征值问题一几〕,就是求解几使方程
“几
有非零解。这样的数又称为一么的特征值,而与几相对应的非零解称之为属于又的特征
向量显然,一几的特征值是广义特征方程一几的根
一, 衍
这时广义特征值问题等价地化为矩阵一‘的普通特征值问题,一又的特征值就是
的一‘普通特征值,也是一‘的特征值
谱和谱半径在普通特征值理论中占有十分重要的地位,我们先拓广这两个概念·
定义广义特征值问题的所有特征值的集合用双,表示,称其为一几的谱,
即
几, 几挤任, 一沼二
定义广义特征值问题的特征值之模的最大值用,表示,称其为一几的谱
半径即
, 又几任几,
下面再引人一个定理
引理设、任尸”,且是不可约非负矩阵,是矩阵,则一‘也是不可约非负矩
阵
证明先证一,非负由于是矩阵,所以非奇异且一,妻,又》,因此一‘

再证一’不可约用反证法,设一‘是可约矩阵依定义一定存在置换矩阵
尸,使