特征值与特征向量.ppt

特征值与特征向量
一. 引入特征值、特征向量概念
二. 特征值、特征向量概念
三. 特征多项式的性质
一. 特征值、特征向量概念引入
问题: 对任意的A∈L(V), 如何找到一个基,使A 在该基下的矩阵最简单?
定义4 A ∈L(V), 若存在A ∈P,存在ξ(≠0)∈V,使得
A ξ=λ0ξ(1),则称λ0为A 的特征值,ξ为A 的属于λ0的特征向量.
几何意义:V3中, A ξ与ξ在同一直线上,其长度相差|λ0|倍.
特征向量不为特征值所唯一确定,而特征值为特征向量所唯一确定(即特征向量只能属于一个特征值).
证明:1)A ξ=λ0ξ→对任意的k∈P, k≠0, A (kξ) =kA ξ=k(λ0ξ)=λ0(kξ) . □ 即: 凡kξ都是A 的属于λ0的特征向量.
2) 设α是A 的属于特征值λ1 ,λ2 特征向量→ A α= λ1α= λ2α
→(λ1 -λ2)α= o →因α≠0, 故λ1 -λ2 = o →λ1 =λ2 . □
两集合无公共向量
A
λ1
统领的特征向量全体
λ2
统领的征征向量全体
Vλ={α∈V | Aα=λα}是V的子空间,称为A 的属于特征值λ的特征子空间,由A 的属于特征值λ的特征向量与零向量(非λ的特征向量)组成.
证明:对任意的 k∈P, α,β∈Vλ,A (α+β) = A (α)+A (β)
= λα+λβ= λ(α+β) →α+β∈Vλ A (kα) = kA α=
k (λα) =λ(kα) → kα∈Vλ故Vλ是V 的子空间. □
例取数乘变换K ∈L(V),对任意的α(≠ 0)∈V,
k∈P, K (α) = kα, 即V中非零向量均为K 的属于特征值 k 的特征向量,特征子空间即为V. 特别当 k = 1时, V中非零向量均为恒等变换 E 的属于特征值的特征向量; 当k = 0 时,V中非零向量均为零变换 O 的属于特征值0 的特征向量. 它们的特征子空间均为V.
二. 特征值、特征向量的计算
1. 命题: 设A (∈L(V))在基ε1,ε2, ···,εn 下的矩阵A= (aij)n×n , 则ξ= x1ε1+ x2ε2 + ··· + xnεn 是A 的属于特征值λ的特征向量的充要条件是
该命题说明,λ是否为A 的特征值,ξ(≠0) 是否为A 的属于λ的特征向量,关键在于|λE-A| 是否等于0,故有必要研究多项式|λE-A| 的特性→促使引入一下概念:
2. 定义5 A∈Pn×n, λ是文字,矩阵|λE-A| 的行列式
称为矩阵A的特征多项式,记为 fA(λ) .
fA(λ) = |λE-A| ∈P[x], ∂ fA(λ) = n .
λ为A 的特征值的充要条件是fA(λ) = 0 .
对命题《λ是A 的特征值的充要条件是 fA(λ) = 0 》
的证明分析:
以上讨论说明,线性变换A 的特征值均为 fA (λ)的
根,设λ0是的特征值,即 fA (λ0) = |λ0 E-A| = 0 →
如上齐次线性方程组(λ0E-A)X=0 的非零解均为A 的
属于特征值λ0 的特征向量→给出如下课题的思路:
3. 求特征值,特征向量的方法(对给定的A )