一类辛正交阵逆特征值问题及其最佳逼近.pdf

第卷第期经济数学
年月
一类辛正交阵逆特征值问题及其最佳逼近一‘
刘权强胡锡炎张磊
湖南大学,数学与计量经济学院,湖南长沙
摘要本文提出了一类辛正交阵的逆特征值问题,讨论了该问题有解的充分必要条件,给出了解的表达式,
并考虑了解集合对给定矩阵的最佳退近问题
关健词辛正交阵,逆特征值问题,最佳遥近
引言
随着矩阵在各个领域的广泛应用,矩阵逆特征值问题的研究也日益广泛深人,辛矩阵在力
学、工程计算、最优控制理论等领域有很多应用辛矩阵的逆特征值问题也鱼待解决,本文将详
细讨论一类对角线为正交矩阵块的辛正交阵的逆特征值问题‘
用“”表示所有阶实矩阵集合,矿’表示矩阵的转置,’表示矩阵的共扼转
置,。表示阶单位矩阵对于,任“”定义与的内积为,由此内积
导出的矩阵范数为了石石不丫石丽场万即为范数,记任尸。‘。为
,
,
一二
容易得到尹’二一’一
定义设任“”,且满足
了了,
则称为辛矩阵,并记尸丈尸”“”’二为所有阶辛矩阵的全体
设矩阵和万的分块形式如下
札一人一
,
一衡一踢一
,
其中八,,,万,,任”又”,,
引理若”,为辛矩阵,则
,一’也为辛矩阵
辛矩阵相似于其逆一‘,因此若又为的特征值,则汇’也是的特征值·
单位矩阵几,任尸,辛矩阵全体尸在矩阵乘法下构成一个群
证由定义可得辛矩阵可逆等式两边同时取逆有一‘一,一‘
国家自然科学基金资助项目
收稿日期一一
一一经济数学第、卷
一’一’一‘,从而,一’勺一’该式两边左乘,右乘,得到’了,’由
辛矩阵的定义,即得为辛矩阵同样证得一‘为辛矩阵
等式两边同时右乘一‘,左乘一’得一‘一‘,从而矛’与一‘相似由任意矩
阵与其逆相似可知,与一‘相似,若又为的特征值,则厂‘也是的特征值·
由辛矩阵的定义易知,几。〔尸对任意矩阵任尸,存在唯一一’任尸
若,任尸,任,即了八,若,二,有了,,了若八二
了,,,故为辛矩阵同样可得为辛矩阵所以,尸在矩阵乘法下构
成一个群
引理设矩阵的分块形式如,则为辛矩阵的充要条件为
、

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﹂
一若汽

证带人验证即得略
我们主要研究以下一类辛正交阵

‘·,一,⋯·
考虑下面两个问题
’题给定任””’,以,,几, ,弋,求任尸,使得
了户、
口
、产
问题给定万任·’·,求万任二使得
了、
‘,
万一万““兀一, 、声
百￡
其中为问题的解集合,· 为范数
问题有解的条件及解的表达式
令一签,其中,。一,问题为
人
盲二到一训,
其中任口双””,以,,义,,⋯,弋,入并镇蕊式等价于
,

由为正交矩阵,两边同时左乘、右乘一’,可得一’二等式两边同时取
转置,可得了一‘爹,故式等价于
等一凡,
‘一‘凡‘
第期刘权强,胡锡炎,张磊一类辛正交阵逆特征值间题及其最佳逼近一一
因此,问题为正交矩阵的左右逆特征值问题
引理’设,,,任”又’”,任”,,的奇异值分解为
乏




其中,,任”二,任”‘’任”厂,任,“’一,一,
任”“”,任‘’”,任”‘,”‘‘