第二章解三角形
§1 正弦定理与余弦定理
余弦定理
,已知两边及其夹角,怎么
求出此角的对边?
,怎么求出它的三个角呢?
如图,根据向量的数量积,可以得到
A
B
C
a
b
c
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍, 即
余弦定理
利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。
变形:
推论:
△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,求则此三角形的最大内角.
解:设a=3k,b=5k,c=7k,
由余弦定理易求得cosC=-1/2
,
所以最大角C 为120 0 .
例2:如图,有两条直线AB和CD相交成80O角,,OC方向出发,速度分别为4km/()?
分析:经过3时,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点Q,OQ=×3=(km),问题转化为在△OPQ中,已知OP=12km, OQ=,∠POQ= 80O,求PQ的长.
A
B
O
D
C
Q
P
80O
解:经过3时后,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达
点Q,OQ=×3=(km).依余弦定理,知
答:.
A
B
O
D
C
Q
P
80O
例3:∠DAB的大小(,角度精确到1O)?
A
B
C
D
1
1
1
解:在△BCD中,BC=1,CD=1,∠BCD=135O.
因为
所以
在△ABD中,AB=1,
因为
所以
A
B
C
D
1
1
1
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