1.3 条件概率与全概率公式（精选）.pdf

§§33、条件概率与全概率公式、条件概率与全概率公式
一、条件概率一、条件概率
对概率的讨论总是在一组固定的条件限制下进行的,
以前的讨论总是假定除此之外再无别的信息可供使用.
有时,我们却会碰到这样的情况,即已知某一事件B已
发生,要求另一事件A发生的概率.
【引例】将一枚硬币连抛两次,观察正反面出现的情况。
设事件A:“至少有一次正面”,事件B:“两次正面”,求
“在事件A发生的条件下事件B发生”的概率 PB(|) A .
〖解〗易知Ω={,,,},{,,},HH HT TH TT A = HH HT TH
在“至少有一次正面”发生的条件下计算B发生的概率
时,可取A为样本空间(缩减样本空间),此时,B
1
只含一个样本点HH,故 ABP )|( =
3
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显然,P(B|A)≠P(B)=1/2。
此外,在样本空间Ω中易计算得:P(A)=3/4,P(AB)=1/4,
且有
ABP )(
ABP )|( = .
AP )(
由此,一般可定义条件概率。
定义定义11 设A,B为两个事件,且P(A)>0,称
ABP )(
ABP )|( =
AP )(
为“在事件A发生的条件下事件B发生”的条件概率。
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条件概率也是概率,因而条件概率也满足概率的
三条公理及其各个性质;即:
(1)对任何事件B,有 0(≤ PB| A)1≤
(2) PA(|)1Ω=
(3)若 BB12,,,,
Bn 两两互不相容,则有
∞∞
PBA(|)(|)∪ nn= ∑ PBA
i=1 i=1
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由上述三条基本条件,可类似证得条件概率满足
概率的一些性质,例如:
(1)PA(|)0∅=
( )P(|)1BA=− PBA (|)
2 Ω
Ω
(3)P(BCA∪| )(). = PBAPCAPBCA| )(+−| )(| )
此处不一一列举.
此外,概率P(A)就是条件概率P(A|),P(A)=P(A| Ω)
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不难看出,条件概率可P(B|A)在原样本空间Ω
中按定义公式计算,也可在缩减样本空间A中按一般
概率P(B)计算。
总结:计算条件概率的方法:设PA()> 0,求 PB ( | A )
(1)根据A发生以后的情况直接计算A发生的条件下,
B发生的条件概率;
(2)先计算P(A),P(AB),然后按公式
P()AB
PB(|) A=
P()A
计算之。
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【例1】一盒子装有5只产品,其中3只一等品,2只二等
品。从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽
样。设事件A为“第一次取到一等品”,事件B为“第二
次取到一等品”。求条件概率 ABP )|( 。
〖解〗方法方法11(在原样本空间Ω中计算)
因为不放回依次取两只的每种不同结果就是一个
基本事件,基本事件总数为 2 A的有利场合
A5 =×= ,2045
1 1 1 1
数为 4 =⋅ 12, AB的有利场合数为 2 =⋅,6 故由古典

概率公式得:
12 6
)( = ABPAP )(, = ,
20 20
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从而由条件概率公式得:
ABP )( 1
ABP )|( == .
AP )( 2
方法方法22(在缩减样本空间A中计算)
“第一次取一等品的两只”均为A所含基本事件,共有
1 1
4 =⋅ 12,其中两只均为一等品的为AB所含基本事件,
1 1
共有 2 =⋅,6 故由古典概率公式古典概率公式得:
6 1
ABP )|( == .
12 2
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二、乘法公式二、乘法公式
由条件概率定义即可得:
定义2(乘法公式乘法公式)) 设A,B为两个事件,且P(A)>0,
则= ABPAPABP )|()()(
乘法公式可推广至多个事件的积事件。例如
= ABPABCPABPAPABCP > )0)(()|()|()()(
PAA()()(|)(|)12
Ann= PA1 PA 2 A 1 PA AA12 An− 1
其中PAA()012
An− 1>
乘法公式的几何解释:若将事件A的概率看作“A
在Ω中所占的面积比”[几何概率],则显然成立:
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ABm )(
ABP )( =
Sm