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浅议函数的奇偶性
函数的奇偶性是函数的重要性质之一,也是每年高考的重点和热点内容之一。它在代数,三角函数以及高等数学中有着广泛的应用。
一、关于函数的奇偶性的定义
高中代数新教材(上册)(以下称教材)第61页,定义如下:
⑴一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,,那么函数就称偶函数;
⑵一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就称奇函数;
定义说明:
上述定义可等价地叙述为:对于函数的定义域内任意一个:
⑴是偶函数;
⑵奇函数;
理解定义是应用概念的前提,在教学中应注意引导学生认识以下两点:
⑴、定义中要求“对于函数的定义域内任意一个,都有”成立,可见必有意义,即也属于的定义域,即自变量的取值要保持任意性。于是有,奇(偶)函数的定义域是一个对称数集(在数轴上表示为关于原点对称的点集)。如果将教材中函数,的定义域分别改为与,学生能很快判断出它们为非奇非偶函数。也就是说:若一个函数的定义域不对称,则此函数不是奇(偶)函数,所以说,函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要不充分条件。
1岬筱通癖嫔樊抠栀
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()岬筱通癖嫔樊抠栀
f(x)=岬筱通癖嫔樊抠栀
⑵、定义中的等式(或)是定义域上的恒等
式,而不是对部分成立。如:函数尽管当
时,都有,但它并是非偶函数。
二、函数的奇偶性的几个性质
①、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称;
②、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立;
③、可逆性: 是偶函数;
奇函数;
④、等价性:
⑤、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称;
⑥、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断
由前面可知,函数奇偶性的因素有两个:定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法:
第一种方法:利用奇、偶函数的定义,主要考查是否与、相等,判断步骤如下:
定义域是否关于原点对称;
数量关系哪个成立;
( ①、②分别是函数具有奇偶性的两个必要条件,若两个条件同时成立,联袂作用,使成为充要条件。)具体步骤如下:
若定义域不对称,则为非奇非偶函数;若定义域对称,则有成为奇(偶)函数的可能,到底怎样,取决于数量关系怎样成立?若成立,则为偶函数;若成立,则为奇函数;若成立,则为既是奇函数也是偶函数;若
都不成立,则为非奇非偶函数。
例1:判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、(教材) ⑵、(教材)
⑶、⑷、
⑸、⑹、
解:⑴为奇函数⑵为偶函数⑶为非奇非偶函数
⑷为非奇非偶函数⑸为非奇非偶函数⑹既是奇函数也是偶函数
注:教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2:判断函数的奇偶性
学生解答:的定义域是,当时,有
是偶函数。
其实上速的解答是不完整的,事实上,
且
既是奇函数也是偶函数。
由此例题说明:若的定义域是对称数集且表达式较复杂,在能化简时后再按定义进行判断。
例3:判断函数的奇偶性
学生解答:的定义域是,当时,有
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