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例1. 变速直线运动的速度
物体作匀速直线运动时, 有
这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度,平均速度记作V.
由于匀速运动物
体的速度是不变的,因此
§4-1 导数的概念
一、导数概念的引入
由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的,因此,用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)?
设一物体作变速直线运动,在[0, t]这段时间内所走路程为 S = S(t). 下求V(t0)
如图



S
S(t0)
S(t0+t)
0
设物体在 t0 时,所走路程为 S(t0),在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t),从而,物体在[t0, t0+t] 这段时间内所走路程为
S =
S (t0+t)  S (t0)
物体在[t0, t0+t] 这段时间内的平均速度为
t越小,近似值
就越接近精确值V(t0).
当t无限变小时,近似值
就会无限接近
也就是
精确值V(t0).
切线的一般定义:如图
设有曲线C及C上一点M,在M点外任取C上一点N,作割线MN,当点N沿曲线C趋向点M时,如果割线MN趋向于它的极限位置MT,则称直线MT为曲线C在点M处的切线.
T
M
x
y
0
N
C
N
下面讨论曲线C:y = f (x), 在点M(x0, y0)处的切线斜率问题.
设N的坐标为(x0+x, y0+y), 割线MN的倾角为, 切线MT的倾角为.
如图

T
y=f (x)
M
x
x0
x0+x
x
y
0
N

C
y0+y
y0
P
割线 MN 的斜率
当x0 时, N 沿 C 趋于M, MN  MT.
从而. 因此, tgtg.

T
y=f (x)
M
x
x0
x0+x
x
y
0
N

C
y0+y
y0
P