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本征值和本征向量

本征值和本征向量的定义
.
定义1 设V 是数域F上的一个向量空间, ,
如果对于F中的一个数λ, 存在V中非零向量使得
,则称λ为线性变换σ的一个本征值,
而叫做σ的属于本征值λ的一个本征向量.
问题1 定义为什么限制非零?
问题2 属于σ的本征值λ是否被本征向量唯一确定?
问题3 属于σ的同一本征值λ的本征向量是否唯一
确定?
问题4 F上的向量空间V中本征向量与一维不变子
空间有什么关系?
例题1--3

本征值和本征向量的计算方法
设,取定V的一个基
,令关于这个基的矩阵为
若关于基的坐标
关于基的坐标
则
而

则有
即有

即关于基的坐标是上述(1)以
为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解;
而(1)有非零解
系数行列式
即是的一个本征值时其须满足(2);
从而满足,即为线性变换的一个本征值.
反之若满足(2),则(1)有非零解,
同时,非零解即为本征向量关于基
的坐标.

称为A的特征多项式.
称为A的特征方程,
称为A的特征矩阵.
定义2:
是数域F上的n阶矩阵.

的一个本征值
特征多项式
相似矩阵有相同的特征多项式吗?
的全部的本征值可以由关于V的任意一个基的
矩阵的特征多项式来决定,因此把它改称为线性变
换的特征多项式,记为

设为线性变换
的一个本征值必要且只要是的特征多项式
的一个根.

把在复数域C内的根(即在复数域C内的解),那么相应的齐次线性方程组
的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根的一个
特征向量.

注意:Ⅰ)方阵才有上述概念,注意其特征根的范围.
Ⅱ)由上述讨论及概念知线性变换的本征值与
本征向量与矩阵的特征根与特征向量的关系:
,取定V的一个基,
令关于这个基的矩阵为.
.
①A的特征根(注在C中)不一定是的本征值(在
F中),而的一个本征值λ,必是A的一个特征根
(在F中).
②矩阵A的属于F的特征根λ就是的本征值,而
A的属于特征根λ的特征向量,就是的属于λ的
本征向量关于所给定的基的坐标.

特征多项式的进一步讨论
,从而有相同的特征根.

的降幂形式的前两项为: