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同济大学《高等数学》第六版：D10_3三重积分.ppt

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文档列表 文档介绍

第三节
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
三重积分
第十章
一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用

引例: 设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在内的物质的
可得
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
定义. 设
存在,
称为体积元素,
若对作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
在上的三重积分.
在直角坐标系下常写作
三重积分的性质与二重积分相似.
性质:
例如
下列“乘
中值定理.
在有界闭域上连续,
则存在
使得
V 为的
体积,
积和式”极限
记作
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
方法1 . 投影法(“先一后二”)
方法2 . 截面法(“先二后一”)
方法3 . 三次积分法
先假设连续函数
并将它看作某物体
通过计算该物体的质量引出下列各计算
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数,
方法:
方法1. 投影法(“先一后二”)
该物体的质量为
细长柱体微元的质量为
微元线密度≈
记作
方法2. 截面法(“先二后一”)
为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
面密度≈
记作
投影法
方法3. 三次积分法
设区域
利用投影法结果,
把二重积分化成二次积分即得:
当被积函数在积分域上变号时, 因为
均为为非负函数
根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
小结: 三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”
方法2. “先二后一”
方法3. “三次积分”
具体计算时应根据
三种方法(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.
其中为三个坐标
例1. 计算三重积分
所围成的闭区域.
解:
面及平面

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