第七章
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
第四节
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空间曲线及其方程
10/10/2018
高等数学
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线,
其一般方程为方程组
例如,方程组
表示圆柱面与平面的交线 C.
C
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又如,方程组
表示上半球面与圆柱面的交线C.
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
称它为空间曲线的参数方程.
例如,圆柱螺旋线
的参数方程为
上升高度
, 称为螺距.
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例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1)
根据第一方程引入参数,
(2) 将第二方程变形为
故所求为
得所求为
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例2. 求空间曲线:
绕 z 轴旋转
时的旋转曲面方程.
解:
点 M1绕 z 轴旋转,
转过角度后到点
则
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这就是旋转曲面满足的参数方程.
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三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
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例如,
在xoy 面上的投影曲线方程为
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