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第十三章动能定理
力的功
动能定理
功率与功率方程
质点和质点系的动能
机械能守恒
§13-1 力的功
一、常力在直线路程上的功
M 1
M 2
s
θ
常力在直线路程上的功等于力在路程方向上的投影与路程的乘积。
功的单位:
功的量纲:
功:代数量
二、变力在曲线路程上的功
元功:
M
M’
M1
M2
θ
力在全路程上所做的功
注意到:
x
z
y
O
M1
M
M2
mg
z 1
z 2
三、几种常见力的功
1、重力的功
质点 M 的重力mg 的投影值为:
∴重力从 M1 → M 2 时所做的功为
x
z
y
O
M1
M
M2
mg
z 1
z 2
对于质点系(或刚体)
质点 i 的重力m i g 的功为:
质点系的全部重力所做的功为:
由质心坐标公式有:
得:
质点系的重力所做的功为:质点系总重力与质心下降高度的乘积。
2、弹性力的功
弹簧的自然长度为,刚度系数为k。
M
x
δ 1
δ
δ 2
M1
M2
从 M1 到 M2 弹簧的弹性力的功为:
弹簧的弹性力为:
结论:弹性力的功为
2、弹性力的功
M
x
δ 1
δ
δ 2
M1
M2
弹性力的功为
当时,
(起始伸长大于最后伸长)
弹性力做正功
当时,
(起始伸长小于最后伸长)
弹性力做负功
y
x
z
R
A
3、定轴转动刚体上作用力的功
刚体绕 z 轴转动,力的元功为:
注意到:
得到:
从到,力的功
特别地,若为常数,
平面运动= 随基点的平动+ 绕基点的转动
在动力学中,应取质心为基点
平面运动= 随质心的平动+ 绕质心的转动
4、刚体作平面运动
结论:
作用在平面运动刚体上力系的元功为:
力系的主矢
力系对质心的主矩
质心的位移
绕质心的转角
C
证明:
取质心为基点,当刚体有微小位移时,力的作用点 M i 的位移为:
力的元功为:
由于
力系全部力所做的功为
得到: