五点共圆问题.ppt

五点共圆问题与 Clifford 链定理 北京师范大学张英伯 2007年4月
一、引子
在世纪之交的2000年5月,当时的江泽民视察澳门濠江中学,兴致勃勃地出了一道“五点共圆”的几何题。
江泽民先生随后给数学家和数学教育家张景中院士打电话征询答案,并亲函濠江中学参考。与此同时,濠江中学的四位数学老师也各自独立地作出了解答。我很敬佩濠江中学的这些老师们,他们的数学功底由此可见一斑。
这个图形就是五点共圆问题。当时的表述是:给出一个不规则的五角星,做所得五个小三角形的外接圆,其中每相邻的两个圆交于两个点,在所得五边形五顶点外的点共有五个,证明这五点共圆。
2003年春天,我去德国访问。我的老板,代数学家 Claus Ringel 问我,你知道江问题吗?我正在脑子里紧张地搜索江姓数学家的名单,老板得意地笑了,“哎呀呀,你们的呀!”
Claus 刚从伦敦开会回来,他说在伦敦的会议上,数学家们聊起了江泽民先生提出的五点共圆问题,觉得关注几何学非常有趣。Claus 随手在黑板上画出了五点共圆问题的推广。
2006 年底,华东师范大学张奠宙先生在澳门组织的高级研讨班邀请我去做报告,报告刚好在濠江中学举行。濠江中学校方与我们会面时介绍了当年江泽民主席的视察。我一下子想起三年前与 Claus 的对话,就临时改变报告题目,凭记忆谈了广义的五点共圆问题。
回到学校,正赶上本科生准备毕业论文,一个保送研究生的女孩儿希望读代数方向的硕士,来我这里要题目,我说你试着找找五点共圆问题的推广吧。
感谢今天的互联网,把这个世界所有的信息摆在了每一个人的面前。
经过一个礼拜的搜索,女孩子终于找到了一位日本数学家冈洁的传记,在传记的最后一页的最后一个脚注中,提到 Clifford 定理将五点共圆问题推广到了任意的正整数。
有了这个名字,事情便简单多了。女孩马上去搜索 Clifford 所有文章的目录,找到了他关于这个问题的文章:On Miquel’s theorem. 遗憾的是年代过于久远,我们的北京图书馆,中科院图书文献中心都没有收藏。
再一次感谢互联网,北图很快通知我们文章在大英图书馆找到了,付钱之后就可以扫描过来。还是由于年代过于久远,大英图书馆将刊有这篇文章的杂志收在一个乡间的书库。付过的钱被退了回来,原文的扫描和复印件都不能提供,原因无可奉告。
因为没有见到原文,我今天讲的证明,基于 F. Morley 1900 年发表在美国数学会 Transaction 上的一篇文章 On the metric geometry of the plane n-line. Morley 也是英国人,几何学家。
在十九世纪下半叶和二十世纪初,许多欧美大数学家致力于建立欧几里得几何的公理化体系。希尔伯特用了三十年的时间,先后出版七稿,写成了几何基础一书。
十九世纪下半叶和二十世纪初,我国正处于清朝末年,尚未进入近代数学的研究领域。将数学基础研究首先引入中国的是我国著名的数学家,我国近代数学教育的先驱傅种孙先生。他在二十年代翻译了希尔伯特的几何基础,倾其毕生精力在北京师范大学,师大附中教书,引进国外教材,培训中学教师。
正因为我国的近代数学研究起步较晚,对当时的一些研究领域比较陌生。
当几何基础引起广泛讨论的时候,许多古老的几何问题,比如与三角形相关的点,直线和圆的问题被发现并研究。 1838年,Miquel 证明了有关四圆共点的定理。
一百三十六年前的1871年,在四圆共点的定理的基础上,英国数学家 William Kingdon Clifford 建立了 Clifford 链定理,并在英国早期的一本杂志《Messenger of Mathematics》第五册上发表了证明。
Clifford 本人因他提出的 Clifford 代数而闻名于数学界。
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