数字逻辑课件 第二章.ppt

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第二章逻辑代数基础
逻辑代数基础
第二章
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第二章逻辑代数基础
逻辑代数是数字系统逻辑设计的理论基础和重要数学工具
逻辑代数是从哲学领域中的逻辑学发展而来的。
1847年,英国数学家乔治·布尔()提出了用数学分析方法表示命题陈述的逻辑结构,并成功地将形式逻辑归结为一种代数演算,从而诞生了著名的“布尔代数”。
1938年,克劳德·向农()将布尔代数应用于电话继电器的开关电路,提出了“开关代数”。
随着电子技术的发展,集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关,故“开关代数”这个术语已很少使用。为了与“数字系统逻辑设计”这一术语相适应,人们更习惯于把开关代数叫做逻辑代数。
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本章知识要点:

☆基本概念

☆基本定理和规则
☆逻辑函数的表示形式

☆逻辑函数的化简
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逻辑代数L是一个封闭的代数系统,它由一个逻辑变量集K,常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成,记为L = { K , + , · , - , 0 , 1 }。该系统应满足下列公理。
逻辑代数的基本概念
公理 1 交换律
对于任意逻辑变量A、B,有
A + B = B + A
A·B = B ·A
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公理 2 结合律
对于任意的逻辑变量A、B、C,有
(A + B) + C = A + ( B + C )
( A·B )· C = A·( B· C )
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公理 3 分配律
对于任意的逻辑变量A、B、C,有
A + ( B·C ) = (A + B)·(A + C)
A·( B + C) = A·B + A·C
公理 4 0─1律
对于任意逻辑变量A,有
A + 0 = A A · 1 = A
A + 1 = 1 A · 0 = 0
公理是一个代数系统的基本出发点,无需加以证明
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公理 5 互补律
对于任意逻辑变量A,存在唯一的,使得
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逻辑变量及基本逻辑运算
逻辑代数和普通代数一样,是用字母表示其值可以变化的量,即变量。所不同的是:
,变量的取值可以是任意实数,而逻辑代数是一种二值代数系统,任何逻辑变量的取值只有两种可能性——取值0或取值1。
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,无大小、正负之分。
在数字系统中,开关的接通与断开,电压的高和低,信号的有和无,晶体管的导通与截止等两种稳定的物理状态,均可用1和0这两种不同的逻辑值来表征。
一、变量
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二、基本逻辑运算
描述一个数字系统,必须反映一个复杂系统中各开关元件之间的联系,这种相互联系反映到数学上就是几种运算关系。
逻辑代数中定义了“或”、“与”、“非”三种基本运算。
1.“或”运算
如果决定某一事件是否发生的多个条件中,只要有一个或一个以上条件成立,事件便可发生,则这种因果关系称之为“或”逻辑。
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例如,用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路。
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在上图所示电路中,开关A和B并联控制灯F。
可以看出,当开关A、B中有一个闭合或者两个均闭合时,灯F即亮。
因此,灯F与开关A、B之间的关系是“或”逻辑关系。
用两个开关并联控制一个灯的电路如下图所示。
并联开关电路
A
B
F
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逻辑代数中,“或”逻辑用“或”运算描述。其运算符号为“+”,有时也用“∨”表示。两变量“或”运算的关系可表示为
F = A + B 或者 F = A ∨ B
读作“F等于A或B”。
在下图所示电路中,假定开关断开用0表示,开关闭合用1表示;灯灭用0表示,灯亮用1表示,则灯F与开关A、B的关系如下表所示。
A
0
1
1
1
1
0
0
B
F
0
1
0
1
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“或”运算表
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F
并联开关电路
A
B
A、B中只要有一个为1,则F为1;仅当A、B均为0时,F才为0。
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“或”运算的运算法则:
0 + 0 = 0 1 + 0 = 1
0 + 1 = 1 1 + 1 = 1
实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。
2.“与”运算
如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备,事件才能发生,则这种因果关系称之为“与”逻辑。
在逻辑代数中,“与”逻辑关系用“与”运算描述。其运算符号为“·”,有时也用“∧”表示。两变量“与”运算关系可表示为
F = A·B 或者 F = A∧B
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