多级火箭的发射问题.doc

多级火箭发射卫星的数学思想
随着科技的发展,我国的航事业有着巨大的进步,有关资料表明,我们一般都是用三级火箭系统发射各种科学卫星,那么我们为什么不用单级火箭来发射呢?
单级火箭发射卫星的可能性
卫星应在预定高度的轨道上运动,为克服地球引力和大气阻力的影响,必须保证发射火箭具有足够高的速度。
基本假设
地球是半径为的均匀球体。
卫星的质量为,在高度为的平面轨道上做匀速圆周运动。
1、火箭速度
地球对卫星的引力为,又由卫星所受引力也是它作圆周运动的向心力,所以又有,故得出,由此可知,当增大时,减少。据有关资料表明,提高质量比成为提高速度的关键。对于火箭系统的质量,其由三部分组成,即卫星质量,燃料质量和火箭结构质量,分别为。
在单级火箭发射过程中,燃料质量是递减的,星箭分离瞬间的剩余质量为,由于载荷质量固定,提高质量比值等价于减少比值,从而我们得出
,其中一般。
由上式可知,此时火箭的最高速度也只能达到
所以,单级火箭发射卫星肯定不能达到第一宇宙速度,故我们要采用多级火箭系统。
多级火箭系统
在人们日常生活中,我们发现二踢脚通常比一般的单级鞭炮要窜的更高。这与多级火箭递推发射原理十分相似,在发射过程中需要逐点燃,即丢掉该级运载火箭,加速下一级运载工具,直至最后一级火箭达到预定高度时才释放出卫星。
在我们理想的级火箭系统中,各级的比值和相对喷射速度相同。设第级火箭质量为,则其结构质量为,燃料质量为,并约定荷载卫星为第级,通过计算得出第级速度,其中。我们要使载荷尽可能高,等价于比值
最小。最后,此问题归结为优化问题
故最优化设计应满足条件。要此基础上,我们取通过计算我们得到下表
多级火箭的质量
火箭级数
2
3
4
5
火箭质量
149
77
65
60
由于三级火箭系统要比二级火箭系统质量减少近一半,且其造价、可靠性又要比三级以上的火箭系统优越。
随着人类逐渐进入深空探测和空间飞行器的功能增多,要求火箭具有更大的运载能力,因而出现了多级火箭。多级火箭的优点是每过一段时间就把不再有用的结构抛弃掉,无需再消耗推进剂来带着它和有效载荷一起飞行。火箭在某个确定的起飞质量下并非级数越多越好,它与起飞质量之间有着某种对应关系。本文通过研究多级火箭的质量,级数和速度的关系,说明理想状态与实际过程的联系和理论运用。