课外拓展
思考题:老鼠离开洞穴沿直线前进,它的速度与到洞穴的距离成反比。当它行进到离洞穴距离为d1的甲处速度是v1,则它行进到离洞穴距离为d2的乙处的速度v2是多少?从甲处到乙处用去的时间是多少?
分析:
此题已知“速度的大小与到洞穴的距离成反比”,即速度的大小与洞穴的距离的乘积为一常数,且此常数为d1v1。由此可求出它行进到距洞穴为d2处时的速度v2,要求它由甲处到乙处所用的时间,没有可以直接套用的现成公式,但是可以采取分割求和的方法求时间。当分割的段数很多时,每一小段可处理成匀速直线运动,即可用求时间。
解:以洞穴为原点,建立坐标如图17所示。
由题意有d1v1=d2v2,故:.
现采取分割求和的办法求时间t。将d1到d2之间的距离分成n等份,如图17所示,每份长为
.
每一等份端点对应的速度为v1,v1′,v2′,v3′,…,vn-1′和v2,且有
速度的倒数:
由以上各式可看出,当n取一定整数时,是一等差数列。
当n很大时,每一小段变速运动可以看成是匀速运动,其速度分别为:
v1,v1′,v2′,v3′,…,vn-1′。从甲处到乙处用的总时间
当n很大时,vn-1′≈v2,有
解后思考:
(1)“分割求和”将“变”转化为“不变”的思维方法是解答物理问题常用的重要方法之一,应加强体会和理解。
(2)要注意数学知识在物理学中的应用,,a1为首项,an为末项,n为项数。(请参考数学课本相关内容)
(3)图象法解此题比较简单,具体见下周课外拓展。
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