均值不等式.ppt

高二数学上册必修五(人教B版)
均值不等式
沈阳市第二十二中学
张海丽
均值不等式
【教学目标】
:学会推导并掌握均值不等式,理解均值不等
式的几何意义,掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件;
:通过实例探究抽象基本不等式;
:体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣。
【教学重点】
应用数形结合的思想理解均值不等式,并从不同角度探索均值
不等式的证过程。
【教学难点】理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵。
新课导入
均值不等式的几何背景.
ICM2002会标
如图,,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。
思考:你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系?
探究
实际上,我们可以尝试用四个全等的直角三角形拼成上面那个“风车”图案.
赵爽弦图
从图形的面积的角度你能找不一些不等关系吗?
a
b
问1:正方形ABCD面积为S=————
问2:四个全等直角三角形的面积的和是S’=———
问3:S与S’有什么样的关系?
从图形中易得,s > s’,即
问题4:S, S’有相等的情况吗?何时相等?
探究
a
b
形的角度
图片说明:当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有
数的角度
当a=b时a2+b2-2ab=(a-b)2=0
探究
问题5:当 a,b为任意实数时, 都成立吗?
思考:
(1)该结论成立的条件是什么?
(2)公式中等号成立的条件是什么?
思考:
探究
重要不等式
猜测:
能否利用不等式的性质,证明这个不等式呢?
思考:
探究
如左图示:圆O内有内接∆ABD,AB为直径,DC垂直于AB,其中AC= a, BC=b,则
(1)圆半径OA是多少?
(2)半弦长CD为多少?
(3)OA与CD关系如何?
a
b
根据圆的性质,我们知道:
半径不小于半弦
从而得到:
探究
A
B
D
C
E
O
算术平均数
几何平均数
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
均值不等式
新课
几何平均数
算术平均数