二次根式及其有意义的条件.doc

初中数学
二次根式及其有意义的条件
编稿老师
徐文涛
一校
杨雪
二校
黄楠
审核
隋冬梅
【考点精讲】
1. 二次根式:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,其中“”称为二次根号,“a”叫做被开方数。
2. 当a>0时,表示a的算术平方根,因此>0;
当a=0时,表示0的算术平方根,因此=0。
这就是说,(a≥0)是一个非负数。
【典例精析】
例题1 下列各式中,是二次根式的有( )
,,,,
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
思路导航:的根指数为3;的被开方数是负数,所以不是二次根式;,,符合二次根式的条件,所以是二次根式的有3个。
答案:C
点评:二次根式必须满足两个条件:①根指数为2;②被开方数为非负数。这两个条件缺一不可。利用这两个条件逐一判断即可。
例题2 当x取何值时,下列各式在实数范围内有意义?
(1);(2);(3)
思路导航:要使被开方数有意义,则被开方数必须是非负数,如果分母中有根式,那么被开方数必须是正数,因为零不能作分母。
答案:解:(1)因为(x-3)2≥0,所以无论x取任何实数,都有意义;
(2)若有意义,则必有4-3x≥0,即当x≤时,有意义;
(3)若有意义,则必有x-1>0,即当x>1时,有意义。
点评:本题考查了二次根式及分式有意义的条件。用到的知识点:要使分式有意义,分母不能为0;二次根式的被开方数是非负数。本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值。
例题3 已知x、y为实数,y=,试求3x+4y的值。
思路导航:根号内是非负数,分母不为0来综合考虑,得到相应的未知字母的值。
答案:解:依题意得,所以x2=4,所以x=±2,又因为x-2是原式分母,所以x-2≠0,所以x≠2,所以x=-2,此时,y=-,所以3x+4y=3×(-2)+4×(-)=-7。
点评:用到的知识点为:互为相反数的两个数都是被开方数,那么这两个数都为0。
【总结提升】
1. 正确理解二次根式的概念,要注意以下几点:
(1)二次根式的概念是从形式上界定的,必须含有二次根号,如,,。
(2)“”的根指数为2,即“”,我们一般省略根指数2,例如写作,而不是二次根式,所以不能写作。
2. 需要掌握三个具有非负性的式子:①a2≥0;②|a|≥0;③≥0(a≥0)。
例如:+(y-1)2+|z|=0,=0,(y-1)2=0,|z|=0,则x=-1,y=1,z=0。
3. 如果将公式(a≥0)逆用,即(a≥0),就可以把一个非负数写成一个数的平方的形式。例如:,。(a-b≥0)
这一公式常用在因式分解中,如:。
(答题时间:20分钟)
1. 下列式子中,是二次根式的是( )
A. - B. C. D. x
2. 要使是二次根式,则应满足的条件是( )
A. a≥0且b≥0 B. a≥0且b>0
C. >0 D. ≥0且b≠0
3. 函数中自变量的取值范围在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
4. 使式子有意义的未知数x有( )个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无