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四点共圆专题讲义
,E、F、G、:E、F、G、H四点共圆.

例2.(1)如图,在△ABC中,BD、CE是AC、AB上的高,∠A=60°.求证:ED=
(2)已知:点O是△ABC的外心,BE,:AO⊥DE
,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥:B、E、F、C四点共圆.



总结:四点共圆的方法:
OA=OB=OC
∠ADC=∠ABC=90°
∠ACD=∠ABD=90°
∠B+∠D=180°或∠A+∠BCD=180°或∠A=∠DCE
∠A=∠D或∠B=∠C




:圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积,即图中AB·CD+BC·AD=AC·BD.
,,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ.
(1)若且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB的度数;
(2)在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想∠CDB的大小(用含的代数式表示),并加以证明;
(3)对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出的范围.
△ABC中,∠A=30°,AB=2,将△ABC绕点B顺时针旋转(0°<<90°),得到△DBE,其中点A的对应点是点D,点C的对应点是点E,AC、DE相交于点F,连接BF.
(1)如图1,若=60°,△DBE,并直接写出∠AFB的度数;
(2)如图2,若=90°,求∠AFB的度数和BF的长;
(3)如图3,若旋转(0°<<90°),请直接写出∠AFB的度数及BF的长(用含的代数式表示).
图3
图1
图2
,点P是∠MON的平分线上的一动点,射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使∠APB+∠MON=180°.
(1)利用图1,求证:PA=PB;
(2)如图2,若点C是AB与OP的交点,当S△POB=3S△PCB时,求PB与PC的比值;
(3)若∠MON=60°,OB=2,射线AP交ON于点D,且满足且∠PBD=∠ABO,请借助图3补全图形,并求OP长.
,在△ABC中,AB=,直线a交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),△BMN的边MN始终在直线a上(点M在点N的上方),且BM=BN,.
(1)当∠B