概率论必背公式.docx

概率论必背公式
可列可加性:
Pi=1∞Ai=i=1∞PAi
加法公式:
PA∪B=PA+PB-PAB
乘法公式:
PA∩B=PAPBA=PBPA|B
减法公式:
PA-B=PA-PAB
条件概率:
PAB=PABPB
乘法公式的推广:
PA1A2⋯An=PA1PA2A1PA3A2A1⋯PAnAn-1⋯A1
全概公式:
PB=i=1nPAiPBAi
贝叶斯公式(逆概公式):
PAjB=P(Aj)P(B|Aj)i=1nP(Ai)P(B|Ai)
组合公式:
CNk=NN-1⋯(N-k+1)k!=N!k!N-k!
二项概率公式:
kpk1-pn-k
泊松分布:
X~πλ
PX=k=λkk!e-λ
若n足够大,且np<10时:
X~Bn,p⇔X~kpk1-pn-k≈λkk!e-λ,λ=np
均匀分布:
X~Ua,b
fx=1b-a, a<x<b0, other
指数分布:
X~Eλ
fx=λe-λx, x>00, x≤0
无记忆性:
PX>s+tX>s=PX>t
正态分布:
X~Nμ,σ2
φx=12πe-x22
正态分布下的概率计算公式:
Pa≤x≤b=ϕb-μσ-ϕa-μσ
连续型随机变量X的函数Y=gx的分布
1. FYy=PY≤y=Pgx≤y=x∈DyfX(x)=fXhy∙|h'(y)|
(2)仅在g(x)可导且严格单调时成立
联合分布函数:
Px1<X≤x2,y1<Y≤y2=Fx2,y2-Fx2,y1-Fx1,y2+Fx1,y1
边缘分布函数:
FXx=limy→∞Fx,y=F(x,+∞)
FYy=limx→∞Fx,y=F+∞,y
边缘慨率密度:
fXx=-∞+∞f(x,y)dy
fYy=-∞+∞f(x,y)dx
连续型随机变量的条件分布:
fX|Yxy=fx,yfY(y)
fY|Xyx=fx,yfX(x)
均匀分布:
fx,y=1A, &(x,y)∈G0, &other
指数分布:
fx,y=αβe-(αx+βy), &x>0,y>00, &other
正态分布:
fx,y=12πσ1σ21-ρ2e-121-ρ2x-μ1σ12-2ρx-μ1y-μ2σ1σ2+y-μ2σ22
X,Y~Nμ1,σ12;μ2,σ22;ρ]⇒X~Nμ1,σ12,Y~Nμ2,σ22
X与Y独立的条件为rho=0
边缘概率密度的计算:
fXx=φ1(x)φ2(x)fx,ydy, a<x<b
二维连续型随机变量函数分布的计算:
FZz=PZ≤z=PgX,Y≤z=gx,y≤zfx,ydxdy
常见的二维连续型随机变量函数分布:
Z=X+Y
fZz=-∞+∞fx,z-xdx=-∞+∞fz-y,ydy
X与Y相互独立时
Z=MaxX,Y
FZz=FXzFYz
Z=MinX,Y
FZz=1-[1-FXz][1-FYz]
数学期望的性质:
EC=CEkX+C=kEX+CEX+Y=EX+EYEX∙Y=EX∙EY
方差和方差的性质:
DX=EX-EX2=EX2-EX2
DC=0DkX+C=k2DXDX±Y=DX+DY±2CovX,Y
协方差:
CovX,Y=EX-EXY-EY
=i=1∞j=1∞xi-EXyj-EYpij