课题:函数的单调性(二):这节课我们将讲复合函数的单调区间,:设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若AÍB,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,:.(教师把所学过的函数均写在黑板上,中间留出写答案的地方,当学生回答得正确时,由教师将正确答案写在对应题的下边.)(教师板书,可适当略写.)=kx+b(k≠0).解当k>0时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间;当k<0时,(-∞,+∞)=(k≠0).解当k>0时,(-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调减区间,当k<0时,(-∞,0)和(0,+∞)=ax2+bx+c(a≠0).解当a>0时(-∞,-)是这个函数的单调减区间,(-,+∞)是它的单调增区间;当a<0时(-∞,-)是这个函数的单调增区间,(-,+∞)是它的单调减区间;=ax(a>0,a≠1).解当a>1时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间,当0<a<1时,(-∞,+∞)=logax(a>0,a≠1).解当a>1时,(0,+∞)是这个函数的单调增区间,当0<a<1时,(0,+∞):我们还学过幂函数y=xn(n为有理数),由于n的不同取值情况,可使其定义域分几种情况,比较复杂,我们不妨遇到具体情况时,:我们看看这个函数y=2x2+2x+1,它显然是复合函数,它的单调性如何?生:它在(-∞,+∞):我猜你是这样想的,底等于2的指数函数为增函数,而此函数的定义域为(-∞,+∞),=x2+2x+1的存在,,.(板书)引理1已知函数y=f[g(x)].若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1<u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,所以f(u1)<f(u2),即f[g(x1)]<f[f(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b):有了这个引理,我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢?生:
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