单摆运动的分析.doc

摘要:单摆的理想模型是,假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m的小球组成,不考虑空气阻力。在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。
关键词:单摆线性微分方程非线性微分方程
正文:
单摆的理想模型是,假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m的小球组成,不考虑空气阻力。在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。
单摆在摆动过程中要受到空气阻力的影响,且其在摆动的过程中可能会出现不在同一平面内的情况,若考虑这一系列问题,求解就会变得比较复杂了,首先把问题理想化,假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m的小球组成,不考虑空气阻力。
Ⅰ.由刚体绕定轴转动的微分方程可知:
……⑴
当很小时:
……⑵
令则原式化为……⑶
做任意角度摆动时的情况:
……⑷
Ⅱ.受大小与速度成正比的阻力作用时:
……⑸
做小角度摆动时可近似为:
……⑹
其中⑵、⑶、⑹式为线性微分方程,⑴、⑷、⑸式为非线性微分方程。
1)小角度震荡时将sinθ近似看作θ
:
function fc=f0(t,y)
global g l
fc=[y(2) -g/l*y(1)]'
:
clear
clc
global g l
g=;
l=1;
w0=input('wm0?\n')
[t,y]=ode45('f0',[0,100],[0,w0*pi]');
plot(t,y(:,1),'r')
title('θ-t 图');
xlabel('时间/s');
ylabel('θ/rad');
grid
:
取wm0=.
2)振幅增大后,θ将不满足近似条件。
:
function fc=f1(t,y)
global g l
fc=[y(2) -g/l*sin(y(1))]'
:
clear
clc
global g l k
g=;
l=1;
w0=input('wm0?\n')
[t,y]=ode45('f1',[0,50],[0,w0*pi]');
plot(t,y(:,1),'b')
title('θ-t 图');
xlabel('时间/s');
ylabel('θ/rad');
grid
:
仍取wm0=.