卉新学校奥数思维训练6.全等三角形及应用.doc

卉新学校奥数思维训练6全等三角形及其应用
知识总结归纳:
1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;
两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法:若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形,记作“△ABC≌△A′B′C′其中,“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;
4. 寻找对应元素的方法
(1)根据对应顶点找
如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
(2)根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
(3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折
如图(1),DBOC≌DEOD,DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180°得到的;
‚旋转
如图(2),DCOD≌DBOA,DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180°得到的;
ƒ平移
如图(3),DDEF≌DACB,DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法:
(1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理
(2) 推论:角角边定理
6. 注意问题:
(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等;
(2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA;b :有两边和其中一角对应相等,即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识。
7. 全等三角形知识的应用
证明线段(或角)相等
例1:如图,已知AD=AE,AB=:BF=FC
分析:由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE,而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中,因此先证明ΔACD≌ΔABE,再证明ΔDBF≌ΔECF,既可以得到BF=FC.
证明:在ΔACD和ΔABE中,
∴ΔACD≌ΔABE (SAS)
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)
又∵ AD=AE,AB=AC.
∴ AB-AD=AC-AE
即 BD=CE
在ΔDBF和ΔECF中
∴ΔDBF≌ΔECF (AAS)
∴ BF=FC (全等三角形对应边相等)
(2)证明线段平行
例2:已知:如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,DE=BF,AF=:AB∥CD
分析:要证AB∥CD,需证∠C=∠A,而要证∠C=∠A,又需证ΔABF≌⊥AC,DE⊥AC,知∠DEC=∠BFA=90°,且已知DE=BF,AF=≌ΔCDE条件已具备,故可先证两个三角形全等,再证∠C=∠A,进一步证明AB∥CD.
证明:∵ DE⊥AC,BF⊥AC (已知)
∴∠DEC=∠BFA=90° (垂直的定义)
在ΔABF与ΔCDE中,
∴ΔABF≌ΔCDE(SAS)
∴∠C=∠A (全等三角形对应角相等)
∴ AB∥CD (内错角相等,两直线平行)
(3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3:如图,在△ ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE. 求证:CD=2CE
分析:
(ⅰ)折半法:取CD中点F,连接BF,再证ΔCEB≌。
证明:取CD中点F,连接BF
∴ BF=AC,且BF∥AC (三角形中位线定理)
∴∠ACB=∠2 (两直线平行内错角相等)
又∵ AB=AC
∴∠ACB=∠3 (等边对等角)
∴∠3=∠2
在ΔCEB与ΔCFB中,
∴ΔCEB≌ΔCFB (SAS)
∴ CE=CF=CD (全等三角形对应边相等)
即CD=2CE
(ⅱ)加倍法
证明:延长CE到F,使EF=CE,连BF.
在ΔAEC与ΔBEF中,
∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)
∴ AC=BF, ∠4=∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)
∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行)
∵∠ACB+∠CBF=180o,
∠ABC+∠CBD=180o,
又A