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数学归纳法及其应用
数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法,它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在进一步学习及研究高等数学时,,,首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤,而在三个步骤中,运用归纳假设尤为关键,、不等式、整除性问题和几何问题等.

,当时表示一个命题,当时又表示一个命题,如此等等,,,按部就班地一个一个去证,那么不管我们的证题速度有多快,也是今生今世都证不完的.
在一个与正整数有关的命题面前,作为万物之灵的人,发明了一种方法,叫做“数学归纳法”.人们运用此法,只需寥寥几步,像变戏法似的,便把无穷多个命题一个不剩的全证完了.
数学归纳法是数学论证的一个基本工具,是一种非常重要的数学证明方法,它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的,,这种方法是由下面两步组成,第一步是递推的基础: : 证明如果当时成立,那么当时同样成立.(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设. 不要把整个第二步称为归纳假设.) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的,,那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中.
数学归纳法的概述
常用数学证明方法
数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致,数学中研究问题的方法一般有以下分类:
演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理,它又称演绎法.
归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳推理,,归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法.
不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部),,不完全归纳法是研究数学的一把钥匙,,为了寻求一般规律,往往先考察一些特例,通过对这些特例的不完全归纳形成猜想,,对提高数学能力十分重要.
完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,,,采用完全归纳法.
数学归纳法的定义
数学归纳法概念: 数学归纳法是数学上证明与正整数有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题.
数学归纳法的逻辑基础
意大利有一个数学家,名叫皮亚诺(,1858-1932),他总结了自然数的有关性质,并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.
皮亚诺公理的内容如下:
,某些元素之间存在着一种基本关系——“随从”关系(或者叫做“直接后继”关系)并且满足以下五条公理:
Ⅰ.(即“0是自然数”).
Ⅱ. 对于的每一个元素,在中都有一个确定的随从(我们用符号表示的随从,以下类同).
Ⅲ. 0不是中任何一个元素的随从.
Ⅳ. 由可以推出(这就是说,中的每个元素只能是某一个元素的随从,或者根本不是随从).
Ⅴ. 设是自然数的集合,若它具有下列性质:
(1)自然数0属于;
(2)如果自然数属于,那么它的随从也属于;
则集合包含一切自然数.
,0是自然数关于“后继”的起始元素,如果记
,,,…,,…,则
皮亚诺公理与最小数原理是等价的,我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理.
定理1 (最小数原理) 自然数集的任意非空子集都有最小数.
证设是不大于中任何数的所有自然数的集合,即
由于非空,至少有一自然数,而不在中,,,就有
(0不大于任一自然数)