904-数学归纳法及其应用举例（2）.ppt

数学归纳法及其应用举例(2)
目的要求
(整式)整除问题.
.
,进一步掌握数学归纳法的证明步骤.
=k+1成立的常见变形技巧:提公因式、添项、拆项、合并项、配方等
复习旧课,提出任务
①数学归纳法证明有哪些步骤?
②数学归纳法通常解决什么问题?
(与正整数有关命题)
例题选讲
例1 用数学归纳法证明:
34n+2+52n+1能被14整除.
证明:(i)当n=1时,34×1+2+52×1+1=754=14×16,
∴当n=1时,34n+2+52n+1能被14整除.
(ii)设n=k(k≥1,k∈N*)时,34k+2+52k+1能被14整除.
那么当n=k+1时
34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+2·34+52k+1·52
=81·34k+2+25·52k+1
=(25+56)·34k+2+25·52k+1
=25·(34k+2+52k+1)+56·34k+2.
∵(34k+2+52k+1)能被14整除,56能被14整除,
∴ 34n+2+52n+=k+1时,命题成立.
根据(i)、(ii)可知, 34n+2+52n+1能被14整除.
例2:用数学归纳法证明:
x2n-y2n能被x+y整除.
例3 平面内有n(n≥2)条直线,其中任何
两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点
的个数为:
例题选讲
n
图形
f(n)
1
2
3
4
…
k
K+1
f(1)=0
f(2)=1=f(1)+1
f(3)=3=f(2)+2
f(4)=6=f(3)+3
f(k)
f(k+1)=f(k)+k
…
…
例题选讲
并说明理由.
例5 设
是否存在的整式,
使得等式
对大于1的一切自然数都成立?
并证明你的结论.
例题选讲
例题选讲
研究题
研究题:
,任意两条不平行,任意三条不共点,求它们彼此分成的线段数H(n).(H(n)=n2,证明略)
∈N*,n3+5n+6能被6整除吗?为什么?
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