柯西-许瓦兹不等式的推广与应用（毕业设计论文doc）.doc

华北水利水电学院
题目:柯西-施瓦兹不等式应用求极值
课程名称: 高等数学(2)
专业班级: 应用化学2011123
成员组成:姓名: 学号:201112323
姓名: 学号:201112325
联系方式:
05月20日
柯西-许瓦兹不等式的推广与应用
摘要:柯西-许瓦兹不等式在许多领域都有广泛应用,如线性代数的矢量运动、数学分析的无穷级数、函数乘积的积分、概率论的方差和协方差等方面。柯西-许瓦兹不等式在不同的空间有着不同的形式,同时也有着许多的变形及推广。本文总结了柯西-许瓦兹不等式在实数域、微积分、欧氏空间以及概率空间中的形式及其证明,并给出了它的一些推广和应用。
关键词:柯西-许瓦兹不等式;实数域; 欧氏空间;概率空间
The Generalization and Distortion of Cauchy-Schwarz Inequality
Abstract: Cauchy-Schwarz inequality has wild applications in many areas such as motion vector in linear algebra, the infinite series in mathematical analysis, the integral product of function, variance and covariance in probability theory etc. It is used in the different spaces with different forms, and has a lot of distortions and generalization.  This paper summarizes the form and its proof of Cauchy-Schwarz inequality in the real fields, calculus, Euclidean space, probability space, and gives its generalization and application.
Key words: Cauchy-Schwarz inequality; Real number field ; Euclidean space; Probability space


1 引言
2 研究问题及成果
-许瓦兹不等式在实数域中的推广与应用
-许瓦兹不等式在实数域中的定义
-许瓦兹不等式在实数域中的推广
-许瓦兹不等式在实数域中求极值的应用
2. 2柯西-许瓦兹不等式在微积分中的推广与应用
-许瓦兹不等式在微积分中的定义
-许瓦兹不等式在微积分中的推广
-许瓦兹不等式在微积分中的应用求极值
3 结束语
4 参考文献

引言:
在微积分、线性代数和概率论等学科中,从不同的角度和方法对同一事物做出证明和诠释,著名的柯西不等式就是一个具体的例子。它可以充分说明人类思维的多样性和不同领域的数学之间的内通行、渗透性和完备性。此外,不等式是数学的重要组成部分,它遍及数学的每一个分支,本文主要介绍著名的不等式——柯西—斯瓦兹不等式求函数极值及其在初等数学解体中的应用。柯西不等式是一个重要的不等式,本文用了几种不同的方法证明了柯西不等式,并给出了一些柯西不等式在证明不等式,解方程等方面的应用。

1、柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广与应用
-许瓦兹不等式在实数域中的定义
定义:设,则有
()
其中当且仅当(为常数)等号成立。
柯西-许瓦兹不等式在实数域中有着广泛的应用,现在我们通过它的三种证明方法,来加深对其的理解。
证法一:我们利用一元二次函数的知识来证明
证明:设,则
由于,因此上述不等式的判别式,则
即
证法二:利用一元二次不等式的知识来证明
证明:平方和绝不可能是负数,故对每一个实数都有
其中,等号当且仅当每一项都等于0时成立,该不等式可以变形为
,其中,
如果,不等式显然成立
如果,因为恒成立,所以成立
即等号当且仅当(为常数)成立。
证法三:利用向量的知识来证明
证明:设是两个维向量,则
由于
因此,即当时等号成立,
即或时,也即与共线时等号成立.
-许瓦兹不等式在实数域中的推广
-许瓦兹不等式在实数域中的基本变形与推广
在()中,令,则

()
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令则

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