圆切线证明的方法.doc

切线证明法
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
切线的性质定理的推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
切线的性质定理的推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线,如果已知直线过圆上的某一个点,那么作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径.
【例1】如图1,已知AB为⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30º.求证:DC是⊙O的切线.
思路:要想证明DC是⊙O的切线,只要我们连接OC,证明∠OCD=90º即可.
图1
O
A
B
C
D
证明:连接OC,BC.
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90º.
∵∠CAB=30º,∴BC=AB=OB.
∵BD=OB,∴BC=OD.∴∠OCD=90º.
∴DC是⊙O的切线.
【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论,特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.
O
A
B
C
D
图2
2
3
4
1
【例2】如图2,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥:CD是⊙O的切线.
思路:本题中既有圆的切线是已知条件,,⊙O的切线,只要证明∠ODC=90º即可.
证明:连接OD.
∵OC∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.
∵OA=OD,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.
又∵OB=OD,OC=OC,
∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC.
∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90º.∴∠ODC=90º.
∴DC是⊙O的切线.
【例3】如图2,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,:AC平分∠DAB.
图3
O
A
B
C
D
2
3
1
思路:利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径.
证明:连接OC.
∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD,∴OC∥AD.∴∠1=∠2.
∵OC=OA,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.
∴AC平分∠DAB.
【评析】已知一条直线是某圆的切线时,,辅助线常常是连接圆心与切点,得到半径,那么半径垂直切线.
【例4】如图1,B、C是⊙O上的点,线段AB经过圆心O,连接AC、BC,过点C作CD⊥AB于D,∠ACD=2∠⊙O的切线吗?为什么?
解:AC是⊙O的切线.
理由:连接OC,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B.
∵∠COD是△BOC的外角,
∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B.
∵∠ACD=2∠B,
∴∠ACD=∠COD.
∵CD⊥AB 于D,
∴∠DCO+∠COD=90°.
∴∠DCO+∠ACD=90°.
即OC⊥AC.
∵C为⊙O上的点,
∴AC是⊙O的切线.
【